Approximation des problèmes # P-hard

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Considérons le problème classique # P-complet # 3SAT, c'est-à-dire de compter le nombre d'évaluations pour rendre un 3CNF avec variables satisfaisable. Je m'intéresse à l' approximabilité additive . De toute évidence, il existe un algorithme trivial pour obtenir une erreur de , mais si , est-il possible d'avoir un algorithme d'approximation efficace, ou ce problème est également # P-difficile ? $n$ $2^{n-1}$ $k<2^{n-1}$

— user0928
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Si , alors il existe un algorithme poly-temps avec une erreur additive . Si , alors il y aurait un algorithme poly-temps aléatoire avec une erreur additive . Lorsque est significativement plus petit (mais pas polynomialement petit), je m'attendrais à ce qu'il soit NP-dur, mais pas # P-dur, car la dureté #P dépend généralement du fait qu'il s'agit d'un calcul exact.

k = 2^{n - 1} - p o l y (n)

$k=2^{n-1}-\mathrm{poly}(n)$

k

$k$

k = 2^{n} / p o l y (n)

$k=2^{n}/\mathrm{poly}(n)$

k

$k$

k

$k$

— Thomas

Pourriez-vous fournir une référence pour les deux premières revendications? Désolé je suis un débutant ...

— user0928

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Nous sommes intéressés par les approximations additives de # 3SAT. c'est-à-dire, étant donné un 3CNF sur variables, comptez le nombre d'affectations satisfaisantes (appelez ceci ) jusqu'à l'erreur additive . $\phi$ $n$ $a$ $k$

Voici quelques résultats de base pour cela:

Cas 1: $k=2^{n-1}-\mathrm{poly}(n)$

Ici, il existe un algorithme de temps poly déterministe: Soit . Maintenant, évaluez sur entrées arbitraires (par exemple, les premières entrées lexicographiquement ). Supposons que de ces entrées satisfasse . On connaît alors car il y a au moins assignations satisfaisantes et car il y a au moins assignations insatisfaisantes. La longueur de cet intervalle est de . Donc, si nous sortons le point milieu cela se trouve dans $m=2^n-2k = \mathrm{poly}(n)$ $\phi$ $m$ $m$ $\ell$ $\phi$ $a \geq \ell$ $\ell$ $a \leq 2^n - (m-\ell)$ $m-\ell$ $2^n - (m-\ell) - \ell = 2k$ $2^{n-1} -m/2 + \ell$ $k$ de la bonne réponse, au besoin.

Cas 2: $k=2^n/\mathrm{poly}(n)$

Ici, nous avons un algorithme poly-temps aléatoire: Évaluer en points aléatoires . Soit et . Nous produisons . Pour que cela ait une erreur au plus nous avons besoin de ce qui équivaut àPar une borne Chernoff , as $\phi$ $m$ $X_1, \cdots, X_m \in \{0,1\}^n$ $\alpha = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m \phi(X_i)$ $\varepsilon = k/2^n$ $2^n \cdot \alpha$ $k$

k \geq | 2^{n} α - a | = 2^{n} | α - a / 2^{n} |,

$k \geq |2^n \alpha - a| = 2^n |\alpha - a/2^n|,$

| α - a / 2^{n} | \leq ε .

$|\alpha - a/2^n| \leq \varepsilon.$

P [| α - a / 2^{n} | > ε] \leq 2^{- Ω (m ε^{2})},

$\mathbb{P}[|\alpha - a/2^n| > \varepsilon] \leq 2^{-\Omega(m \varepsilon^2)},$

E [ϕ (X_{i})] = E [α] = a / 2^{n}

$\mathbb{E}[\phi(X_i)]=\mathbb{E}[\alpha]=a/2^n$ . Cela implique que, si nous choisissons (et assurons que est une puissance de ), alors avec une probabilité d'au moins , l'erreur est au plus .

m = O (1 / ε^{2}) = p o l y (n)

$m=O(1/\varepsilon^2) = \mathrm{poly}(n)$

m

$m$

2

$2$

0.99

$0.99$

k

$k$

Cas 3: pour $k=2^{cn + o(n)}$ $c < 1$

Dans ce cas, le problème est # P-difficile: nous ferons une réduction de # 3SAT. Prenez un 3CNF sur variables. Choisissez tel que - cela nécessite . Soit sauf que est maintenant sur variables, plutôt que . Si a affectations satisfaisantes, alors a affectations satisfaisantes, car les variables "libres" peuvent prendre n'importe quelle valeur dans une affectation satisfaisante. Supposons maintenant que nous ayons tel que $\psi$ $m$ $n \geq m$ $k < 2^{n-m-1}$ $n = O(m/(1-c))$ $\phi=\psi$ $\phi$ $n$ $m$ $\psi$ $b$ $\phi$ $b \cdot 2^{n-m}$ $n-m$ $\hat{a}$ $|\hat{a}-a| \leq k$ - c'est-à-dire est une approximation du nombre d'assignations satisfaisantes de avec l'erreur additive . Alors Puisque est un entier, cela signifie que nous pouvons déterminer la valeur exacte de partir de . La détermination algorithmique de la valeur exacte de implique la résolution du problème # P-complet # 3SAT. Cela signifie qu'il est # P-difficile de calculer . $\hat{a}$ $\phi$ $k$

| b - \hat{a} / 2^{n - m} | = | \frac{a - \hat{a}}{2^{n - m}} | \leq \frac{k}{2^{n - m}} < 1 / 2.

$|b-\hat{a}/2^{n-m}| = \left| \frac{a - \hat{a}}{2^{n-m}}\right| \leq \frac{k}{2^{n-m}} < 1/2.$

b

$b$

b

$b$

\hat{a}

$\hat{a}$

b

$b$

\hat{a}

$\hat{a}$

— Thomas
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Voici une référence à Bordewich, Freedman, Lovász et Welsh qui développe ce sujet dans une certaine mesure.

— Martin Schwarz
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