Preuve simple du pire des cas Ω (n lg n) pour l'unicité / la distinction?

Il existe plusieurs preuves pour la borne inférieure log-linéaire du problème d'unicité / distinction d'un élément (basée sur des arbres de calcul algébriques ou des arguments contradictoires), mais j'en cherche une qui soit assez simple à utiliser dans un premier cours d'analyse et de conception d'algorithmes. Le même «niveau de difficulté» que la limite inférieure pour le tri conviendrait. De plus, toute approche (par exemple combinatoire ou basée sur la théorie de l'information) serait acceptable. Aucune suggestion?

cc.complexity-theory lower-bounds proofs

— Magnus Lie Hetland
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Quel modèle de calcul avez-vous en tête? Si les éléments sont de petits nombres entiers, on peut faire

en triant. Si les éléments ne peuvent être comparés que pour l'inégalité, il semble y avoir une borne inférieure

. Est-il correct de déduire de la réponse que vous recherchez que les éléments sont ordonnés linéairement et peuvent être comparés pour <, =,> mais pas pour d'autres opérations?

o (n \log n)

$o(n \log n)$

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

— Warren Schudy

La question de Warren dans son commentaire est un bon appel. À cet égard , le commentaire de David Eppstein sur une autre question est perspicace, où il souligne l'importance de spécifier le modèle de calcul lorsque nous parlons de ce type de bornes inférieures. Soit dit en passant, je ne sais pas s'il est logique d'énumérer côte à côte les «arbres de calcul algébriques» (un modèle de calcul) et les «arguments contradictoires» (une méthode de preuve).

— Tsuyoshi Ito du

Très bons points. Mon application ici explique les preuves de dureté par réduction - par exemple en passant de l'unicité au tri (et plusieurs autres problèmes). Par conséquent, je suppose les mêmes opérations de base que lorsque vous travaillez avec le tri par comparaison (pour que la réduction fonctionne). (Ou, je suppose, quelque chose d'équivalent à la RAM avec des nombres réels.)

— Magnus Lie Hetland

Réponses:

Tout certificat (preuve) de distinction qui utilise uniquement <, = et> doit inclure des comparaisons entre chaque paire d'éléments adjacents dans l'ordre trié. Par conséquent, tout certificat de distinction donne suffisamment d'informations pour trier et, par conséquent, la limite inférieure théorique de l'information pour le tri s'applique également à tout algorithme de distinction déterministe.

— Warren Schudy
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Cet argument fonctionne pour les arbres de comparaison, mais pas (directement) pour les modèles d'arbre de décision plus généraux.

— Jeffε

JeffE: Je suis d'accord. Je doute qu'il existe une preuve suffisamment simple pour les besoins de Magnus qui fonctionne dans un modèle plus général.

— Warren Schudy

Droite. Les arbres de comparaison sont très bien pour mon application - donc je suppose que cela est assez proche de ce que je recherche. Mon application expliquait l'idée des preuves de dureté, y compris la réduction au tri, donc le fait que la preuve de tri soit utilisée ici court-circuite le tout. Je suppose que j'aurais dû le dire explicitement :-)

— Magnus Lie Hetland

Je ne sais pas si je comprends bien la question, mais la preuve de Dobkin et Lipton [DL79] que le problème d'unicité sur n nombres nécessite des comparaisons Ω ( n log n ) dans le modèle d'arbre de décision linéaire est beaucoup plus facile que le résultat le plus fort dans le modèle d'arbre de calcul algébrique de Ben-Or [Ben83] (sans surprise).

Les références

[Ben83] Michael Ben-Or. Limites inférieures pour les arbres de calcul algébriques. Dans Actes du quinzième symposium annuel de l'ACM sur la théorie de l'informatique (STOC 1983) , pp. 80-86, avril 1983. http://doi.acm.org/10.1145/800061.808735

[DL79] David P. Dobkin et Richard J. Lipton. Sur la complexité des calculs sous différents ensembles de primitives. Journal of Computer and System Sciences , 18 (1): 86–91, février 1979. http://dx.doi.org/10.1016/0022-0000(79)90054-0

— Tsuyoshi Ito
source

En bref: considérons l'espace R ^ n de toutes les entrées possibles. L'ensemble des entrées positives a n! composants connectés, un pour chaque permutation. D'un autre côté, les entrées de sous-ensemble qui peuvent atteindre n'importe quelle feuille dans un arbre de décision linéaire sont convexes et donc connectées. Ainsi, tout arbre de décision linéaire qui détermine l'unicité a au moins n! feuilles.

— Jeffε

Un argument plus subtil est requis pour le cas spécial des entrées entières. Voir Lubiw et Rács, "Une borne inférieure pour le problème de la distinction des éléments entiers", Information et calcul 1991; ou Yao, "Bornes inférieures pour les arbres de calcul algébriques à entrées entières", FOCS 1989.

— Jeffε

@JeffE: Votre courte explication est merveilleuse. Merci également pour le pointeur vers des résultats intéressants. Il ne m'est jamais venu à l'esprit que la borne inférieure de Ben-Or ne s'applique pas immédiatement au cas où l'entrée est limitée aux entiers!

— Tsuyoshi Ito du

Jeff: ceux-ci devraient être dans une réponse!

— Suresh Venkat

Merci à Tsuyoshi Ito et JeffE. J'ai déjà vu la preuve d'espace R ^ n (dans un cadre utilisant des arguments contradictoires). Je pensais que c'était un peu trop complexe pour mon public cible lorsque je l'ai lu pour la première fois, mais je suppose que ce n'est peut-être pas vraiment le cas. Merci. (J'ai également vu l'article sur le cas entier - je pense que je n'entrerai pas dans ce sujet dans ma conférence… :)

— Magnus Lie Hetland