Exemples dans lesquels l'unicité de la solution facilite la recherche

37

La classe de complexité comprend les problèmes de qui peuvent être résolus par une machine de Turing polynomiale non déterministe qui en a au plus un qui accepte le chemin de calcul. C'est-à-dire que la solution, s'il y en a une, est unique en ce sens. Il est hautement improbable que tous les problèmes de se trouvent dans , car, selon le théorème de Valiant-Vazirani, cela impliquerait l'effondrement de . $\mathsf{UP}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{UP}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{NP}=\mathsf{RP}$

D'autre part, aucun -problem n'est connu pour être -complet, ce qui suggère que l'exigence de solution unique les rend encore plus faciles. $\mathsf{UP}$ $\mathsf{NP}$

Je cherche des exemples où l'hypothèse d'unicité conduit à un algorithme plus rapide.

Par exemple, en examinant les problèmes de graphes, une clique maximale dans un graphique peut-elle être trouvée plus rapidement (bien que toujours en temps exponentiel), si nous savons que le graphique a une clique maximale unique ? Qu'en est-il de la colorabilité unique , du chemin hamiltonien unique, de l'ensemble dominant minimal unique, etc.? $k$

En général, nous pouvons définir une version à solution unique de tout problème complet de , en les redimensionnant à . Est-il connu pour l'un d'entre eux que l'ajout de l'hypothèse d'unicité conduit à un algorithme plus rapide? (Permettant qu'il reste toujours exponentiel.) $\mathsf{NP}$ $\mathsf{UP}$

— Andras Farago
source

7

Votre première phrase donne la définition correcte de UP, mais le reste de vos références à UP devrait plutôt être à PromiseUP (y compris Valiant-Vazirani). De toute façon, c'est une question très intéressante. Deux exemples: 1) La factorisation est dans UP et a un algorithme plus rapide que ceux connus pour les problèmes NP-complets (mais la factorisation est aussi dans coNP et même coUP, il n'est donc pas si clair que l'algorithme rapide est sous-jacent à une unicité .) 2 ) Sodoku, tel que défini traditionnellement, est dans PromiseUP, mais je ne connais aucune approche de la résolution de sudoku qui tire parti de l’unicité promise.

— Joshua Grochow

9

La parité du nombre de chemins hamiltoniens peut être trouvée dans le temps

( arxiv.org/pdf/1301.7250.pdf ), tandis que le meilleur algorithme connu pour le problème de décision prend presque

temps.

{1.618}^{n}

$1.618^n$

2^{n}

$2^n$

— Alex Golovnev

8

Voici un exemple tiré de l'informatique quantique: considérons le problème de recherche sur n éléments. Si vous savez qu'il ya exactement 1 point marqué, vous pouvez le trouver avec un algorithme quantique exacte avec

requêtes. Si vous ne connaissez pas le nombre d'éléments marqués, tout algorithme quantique exact nécessite

requêtes.

Θ (\sqrt{n})

$\Theta(\sqrt{n})$

n

$n$

— Robin Kothari

22

3-SAT peut être un tel problème. Actuellement, la meilleure limite supérieure pour Unique 3-SAT est exponentiellement plus rapide que pour le 3-SAT général. (L'accélération est exponentielle bien que la réduction de l'exposant soit minime.) Le détenteur du record pour le cas unique est ce document de Timon Hertli.

L'algorithme de Hertli repose sur l'important algorithme PPSZ de Paturi, Pudlák, Saks et Zane pour $k$ -SAT, qui, je crois, est toujours le plus rapide pour (voir aussi cet article de l'encyclopédie). L'analyse initiale montrait de meilleures limites pour Unique -SAT que pour le général -SAT lorsque ; par la suite, cependant, Hertli a montré dans un article différent $k \geq 5$ $k$ $k$ $k = 3, 4$ que vous puissiez obtenir les mêmes limites pour l’algorithme PPSZ (légèrement modifié), sans présumer de l’unicité. Donc, peut-être que l'unicité peut aider, et cela peut certainement simplifier l'analyse de certains algorithmes, mais notre compréhension du rôle de l'unicité pour SAT continue de croître. $k$

Il est prouvé que Unique -SAT n’est pas beaucoup plus facile que le général -SAT. Le temps fort Exponentielle Hypothesis (SETH) affirme qu'il n'y a pas tel que -variable -SAT est résoluble en $k$ $k$ $\delta < 1$ $n$ $k$ pour chaque constante . Il a été montré dans unarticlede Calabro, Impagliazzo, Kabanets et Paturi que, si SETH se vérifiait, la même affirmation serait vraie pour Unique -SAT. Aussi, si général $O^*(2^{\delta n})$ $k \geq 3$ $k$ $k$ -SAT nécessite un temps exponentielle, soit il y a un tel que le général -SAT ne peut pas être résolu en temps , le même doit être vrai pour unique 3-SAT. Voir le papier pour l'énoncé le plus général. $k \geq 3, \epsilon > 0$ $k$ $O^*(2^{\epsilon n})$

(Note: l' notation supprime les facteurs polynôme dans la longueur d'entrée.) $O^*$

— Andy Drucker
source

1

"vrai pour Unique 3-SAT"

\mapsto

$\: \mapsto \:$ "vrai pour Unique k-SAT"

$\;\;\;\;$

Bonjour Ricky, je ne vois pas de problème avec ce qui est écrit. La dernière affirmation concernant Unique 3-SAT se trouve dans l’abrégé du document.

— Andy Drucker

Ah, je vois que différents

doivent être utilisés pour ce que je disais,

k

$k$

$\hspace{1.58 in}$ ce qui rendrait tout simplement déroutant.

$\;$

16

Le plus court problème de chemin d'accès disjoint à 2 sommets dans les graphes non dirigés sommets récemment résolus (ICALP14) par A. Bjorklund et T. Husfeldt. Mais la solution déterministe est pour le cas de l'existence d'une solution unique. Dans le cas où il y aurait plus d'une solution, ils ont montré que le problème appartenait à RP . Comme les auteurs de l'article l'ont mentionné, on ne sait pas si le problème est dans P dans le scénario général.

— Saeed
source

3

Merci, c'est très intéressant. Le cas général, où la solution n’est pas unique, est également un bel exemple d’un problème de graphe naturel (ou même pratique), qui s’avère désormais être dans RP, mais pas dans P.

— Andras Farago,

10

En dehors de la théorie de la complexité et de l'analyse des algorithmes, l'hypothèse selon laquelle il ne peut y avoir qu'une seule solution constitue la base de certaines des règles standard utilisées pour déduire la solution dans les énigmes de Sudoku. Ces règles impliquent généralement de rechercher des moyens permettant à certaines parties du puzzle d’avoir deux solutions ou plus qui n’interagissent pas avec le reste du puzzle. Cela ne peut pas arriver dans la solution réelle, donc si un modèle qui menace de le trouver est trouvé, il doit alors être cassé, permettant au résolveur de déduire des contraintes sur ce à quoi la solution réelle peut ressembler. Voir http://www.brainbashers.com/sudokuuniquerectangles.asp pour quelques exemples de règles de déduction basées sur l'unicité.

— David Eppstein
source

9

En mentionnant un autre résultat de Björklund, si vous avez la garantie qu'il y a au plus un cycle hamiltonien dans un graphique, vous pouvez décider si un graphique est hamiltonien plus rapidement que vous ne le pouvez en général. $G$

L'hypothèse d'uniqeness signifie que la parité du nombre de Ham. chemins est le même que décider si le graphique est hamiltonien.

$O(1.619^n)$ $O^*(1.657^n)$ $O(n^22^n)$

— RB
source