Limites inférieures de la complexité gaussienne

Définissez la complexité gaussienne d'une matrice comme le nombre minimal d'opérations élémentaires de ligne et de colonne nécessaires pour amener la matrice sous une forme triangulaire supérieure. Il s'agit d'une quantité comprise entre 0 et n 2 (via élémination gaussienne). La notion prend tout son sens dans n'importe quel domaine.$n \times n$$0$$n^2$

Ce problème semble certainement très fondamental et il a dû être étudié. Étonnamment, je ne connais aucune référence. Je serai donc satisfait de toute référence. Mais, bien sûr, la question principale est:

Existe-t-il des limites inférieures explicites non triviales connues?

Par non trivial, je veux dire super-linéaire. Juste pour être clair: sur les champs finis, un argument de comptage montre qu'une matrice aléatoire a un ordre de complexité n ^ 2 (une affirmation similaire devrait être vraie sur des champs infinis). Par conséquent, ce que nous recherchons est une famille explicite de matrices, par exemple, les matrices de Hadmard. C'est la même chose qu'avec la complexité du circuit booléen où nous savons qu'une fonction aléatoire a une complexité élevée, mais nous recherchons des fonctions explicites avec cette propriété.

Cela semble être un problème très difficile, lié à un problème plus largement étudié.

Supposons que nous considérons une matrice carrée inversible A et définissons c (A) comme le nombre minimal d'opérations de lignes élémentaires nécessaires pour réduire A à la matrice d'identité. Cette mesure de complexité est plus grande que celle suggérée par Moritz, donc prouver les limites super-linéaires ne peut être que plus facile.

Maintenant, les opérations de ligne sont réversibles . Il s'ensuit que c (A) peut être défini de manière équivalente comme le nombre minimum d'opérations de ligne nécessaires pour produire A, à partir de la matrice d'identité.

Notez que la production de A de cette manière donne lieu à un circuit arithmétique pour calculer la carte en prenant x à Ax. Le fanin de chaque porte est de 2 et le nombre de portes sans entrée correspond au nombre d'opérations de ligne.

Il n'y a pas de réduction évidente dans le sens inverse (des circuits aux séquences de lignes). Pourtant, nous pouvons caractériser c (A) en termes de complexité du circuit arithmétique d'Ax dans un modèle de circuit restreint: je prétends que c (A) est égal à la moitié du nombre minimum d'arêtes dans un circuit arithmétique pour A, de fanin au plus 2 et largeur n, où nous ne facturons pas les bords menant aux portes de fanin 1. (J'utilise ici la notion habituelle de largeur de circuit.) Cela peut être montré en utilisant l'idée simple esquissée précédemment.

Voici maintenant le lien avec des problèmes bien étudiés: c'est un problème ouvert célèbre depuis plus de 30 ans d'exposer une carte linéaire explicite Axe (sur n'importe quel champ fini) qui nécessite un nombre superlinéaire de portes dans un circuit fanin-2. La référence classique est Valiant, «Arguments théoriques des graphes dans une complexité de bas niveau», et une récente enquête FTTCS de Lokam est également utile.

En étudiant c (A), nous imposons une restriction de largeur supplémentaire, mais comme notre restriction est si faible (largeur n), je ne m'attends pas à ce que le problème devienne beaucoup plus facile. Mais bon - j'adorerais avoir tort.

Il y a des références, et elles sont assez anciennes. Je les ai rencontrés en travaillant sur des algorithmes combinatoires pour la multiplication matricielle booléenne.

$\Theta(n^2/log n)$$\log n$

JW Moon et L. Moser. Un problème de réduction de matrice. Mathématiques du calcul 20 (94): 328-330, 1966.

L'article devrait être accessible sur JSTOR.

Je suis à peu près sûr que la borne inférieure n'est qu'un argument de comptage, et aucune matrice explicite atteignant la borne inférieure n'a été donnée.