Preuve d'indécidabilité non pas par réduction du problème d'arrêt

La manière habituelle de prouver l'indécidabilité est la réduction d'un problème RE-complet tel que le problème d'arrêt, la validité dans la logique du premier ordre, la satisfiabilité des équations diophantiennes, etc.

Il est connu qu'il y a des problèmes récursivement énumérables, mais indécidables qui ne sont pas RE-complets, mais ce sont des constructions artificielles (c'est-à-dire des ensembles qui ont été définis juste pour montrer ce résultat de "densité").

Comment aborder la preuve de l'indécidabilité sans réduction d'un problème RE-complet? Diagonalisation?

On peut montrer assez directement que la complexité de Kolmogorov n'est pas calculable, voir par exemple Sipser, 3e édition, problème 6.23.

Considérez ce que j'aime appeler le problème de GUESSING CONSTANT.

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(Bien sûr, ce n'est pas tout à fait un langage, mais plutôt un analogue de calculabilité d'un problème de promesse.)

Maintenant, par une modification de la preuve originale de Turing, il est assez facile de montrer que GUESSING CONSTANT est indécidable (je vais laisser cela comme un exercice pour vous).

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Si ce que vous recherchez est une preuve qui n'est ni a) une réduction d'un problème complet connu, ni b) une diagonalisation simple (ce que vos divers commentaires indiquent que vous êtes), alors pour autant que je sache, vous n'avez pas de chance. Toutes les preuves que je connais qui ne sont pas par réduction - y compris celles des autres excellentes réponses données ici par Aaronson et Kjos-Hanssen - procèdent par diagonalisation directe.

Et toutes ces diagonalisations sont essentiellement la même preuve . Certains d'entre eux sont de légères variantes de la preuve qui donnent des déclarations légèrement plus fortes / plus faibles, mais les preuves elles-mêmes ne sont généralement que de très légères variations. (Et toutes ces preuves sont essentiellement les mêmes que les preuves originales de Cantor sur les cardinalités, qui sont les mêmes que les preuves de l'inachèvement de Godel et Chaitin, qui sont toutes les versions théoriques du paradoxe de Russell ... Tant et si bien qu'à un moment donné Je me suis demandé si l'on pouvait formaliser d'une manière ou d'une autre une sorte de mathématique inversée un théorème qui disait qu'il n'y avait essentiellement qu'une seule preuve de ce genre.)

Il peut être utile de souligner, cependant, qu'il existe des preuves d'autres déclarations - généralement d'une saveur différente - qui sont des diagonalisations qui sont vraiment, vraiment, prouvablement différentes de la diagonalisation utilisée pour prouver, par exemple, l'indécidabilité du problème d'arrêt.