Quelle est la puissance exacte de l'informatique «quantique» si vous suspendez l'uniténarité?

Question courte.

Quelle est la puissance de calcul des circuits "quantiques", si nous autorisons des portes non unitaires (mais toujours inversibles) et exigons que la sortie donne la réponse correcte avec certitude?

Cette question concerne en quelque sorte ce qui arrive à la classe lorsque vous autorisez les circuits à utiliser plus que des portes unitaires. (Nous sommes toujours obligés de nous limiter aux portes inversibles sur C si nous voulons être en mesure d'avoir un modèle de calcul bien défini.)$\mathsf{EQP}$$\mathbb C$

(Cette question a subi quelques révisions à la lumière d'une certaine confusion de ma part quant aux résultats connus concernant de tels circuits dans le cas unitaire.)

A propos du calcul quantique "exact"

Pour cette question, je définis comme la classe de problèmes qui peuvent être résolus exactement par une famille de circuits quantiques uniformes, où les coefficients de chaque unité sont calculables par des machines de Turing bornées dans le temps polynomial (à partir de la chaîne d'entrée 1 n ) pour chaque taille d'entrée n , et que la disposition du circuit en réseau dirigé peut également être réalisée en temps polynomial. Par "exactement" résolu, je veux dire que la mesure des rendements en bits de sortie | 0 ⟩ avec certitude pour les instances NO, et | 1 ⟩ avec certitude pour les instances OUI.$\mathsf{EQP}$$1^n$$n$$|0\rangle$$|1\rangle$

Mises en garde:

• Même restreinte aux portes unitaires, cette notion de est différente de celle décrite par Bernstein et Vazirani à l'aide de machines de Turing quantiques. La définition ci-dessus permet à une famille de circuits { C n } d'avoir en principe un jeu de portes infini - chaque circuit individuel C n utilise uniquement un sous-ensemble fini, bien sûr - parce que les portes sont en fait calculées à partir des entrées. (Une machine de Turing quantique peut simuler n'importe quel jeu de portes fini que vous aimez, mais ne peut simuler que des jeux de portes finies, car elle n'a qu'un nombre fini de transitions.)$\mathsf{EQP}$$\{ C_n \}$$C_n$

• Ce modèle de calcul banalise tout problème dans , car l'unité pourrait contenir une seule porte qui code en dur la solution à tout problème dans P (ses coefficients sont après tout déterminés par un calcul poly-temps). Ainsi, la complexité temporelle ou spatiale spécifique des problèmes n'est pas nécessairement intéressante pour de tels circuits.$\mathsf P$$\mathsf P$

Nous pouvons ajouter à ces mises en garde l'observation que les implémentations pratiques des ordinateurs quantiques auront de toute façon du bruit. Ce modèle de calcul est intéressant surtout pour des raisons théoriques , comme une question à la composition des transformations unitaires plutôt que le calcul est possible, et aussi comme une version exacte de . En particulier, malgré les mises en garde ci - dessus, nous avons P ⊆ E Q P ⊆ B Q P .$\mathsf{BQP}$$\mathsf{P} \subseteq \mathsf{EQP} \subseteq \mathsf{BQP}$

La raison pour définir dans la façon dont je fais alors que DISCRETE-LOG peut être mis en E Q P . Par [  Mosca + Zalka 2003  ], il existe un algorithme à temps polynomial pour construire un circuit unitaire qui résout exactement les instances de DISCRETE-LOG en produisant des versions exactes du QFT en fonction du module d'entrée. Je crois que nous pouvons alors mettre DISCRETE-LOG dans E Q P , comme défini ci-dessus, en intégrant les éléments de construction de circuits dans la façon dont les coefficients de grille sont calculés. (Le résultat DISCRETE-LOG ∈ E Q P est donc essentiellement fiat, mais en s'appuyant sur la construction de Mosca + Zalka.)$\mathsf{EQP}$$\mathsf{EQP}$$\mathsf{EQP}$$\in \mathsf{EQP}$

Suspendre l'uniténarité

Soit la classe de calcul que nous obtenons si nous suspendons la restriction selon laquelle les portes sont unitaires et leur permettons de s'étendre sur des transformations inversibles. Peut-on placer cette classe (ou même la caractériser) en termes d'autres classes traditionnelles non déterministes C ?$\mathsf{EQP_{\mathrm{GL}}}$$\mathbf C$

Une des raisons pour lesquelles je demande: si est la classe de problèmes pouvant être résolus efficacement avec une erreur bornée , par des familles de circuits uniformes "quantiques non unitaires" - où les instances YES donnent une sortie de | 1 ⟩ avec une probabilité au moins 2/3, et les cas de NO avec une probabilité d' au plus 1/3 (après normalisation de l'état-vecteur) - puis [Aaronson 2005] montre que B Q P G L = P P . C'est-à-dire que la suspension de l'unitarité équivaut dans ce cas à autoriser une erreur illimitée.$\mathsf{BQP}_{\mathrm{GL}}$$|1\rangle$$\mathsf{BQP}_{\mathrm{GL}} = \mathsf{PP}$

Un résultat similaire, ou tout résultat clair, est-il obtenu pour ?$\mathsf{EQP_{\mathrm{GL}}}$

Réponse courte. Il s'avère que la suspension de l'exigence de transformations unitaires et la nécessité d'inverser chaque opération donnent naissance à des classes exactes définissables par écart. Les classes spécifiques en question sont et un 'nouveau' sous - classe L P W P P , tous deux assis entre S P P et C = P . Ces classes ont des définitions assez techniques, qui sont brièvement décrites ci-dessous; bien que ces définitions puissent désormais être remplacées, en principe, par des définitions en termes d'algorithmes non unitaires "de type quantique".$\mathsf{LWPP}$$\mathsf{LPWPP}$$\mathsf{SPP}$$\mathsf{C_=P}$

La classe de comptage contient l'ISOMORPHISME GRAPHIQUE. Il contient également toute la classe U P , donc nous ne nous attendrions pas à ce que les algorithmes quantiques unitaires exacts soient aussi puissants que les classes non unitaires (comme nous pourrions autrement montrer N P ⊆ B Q P ).$\mathsf{SPP}$$\mathsf{UP}$$\mathsf{NP \subseteq BQP}$

Réponse plus longue.

• Dans ma question, j'ai proposé de redéfinir pour tenir compte des problèmes qui peuvent être résolus par des familles de circuits uniformes qui utilisent des portes qui sont efficacement calculables, mais pas nécessairement tirées d'un ensemble de portes fini. Je ne suis plus certain que ce soit une bonne idée de redéfinir E Q P de cette manière, même si je crois que de telles familles de circuits valent la peine d'être étudiées. Nous pouvons appeler cette classe quelque chose comme U n i t a r y P C à la place.$\mathsf{EQP}$ $\mathsf{EQP}$$\mathsf{UnitaryP_{\mathbb C}}$

  Il est possible de démontrer que , qui , jusqu'à récemment été le plus connu lié à E Q P . La classe L W P P correspond plus ou moins aux problèmes pour lesquels il existe un algorithme randomisé, où AUCUNE instance ne produit un résultat de 1 avec une probabilité exactement de 0,5 et où les instances OUI produisent un résultat de 1 avec une certaine probabilité qui peut être efficacement et exactement calculé sous une forme rationnelle, qui est supérieure à (mais peut-être exponentiellement proche de) 0,5. La définition technique de L W $\mathsf{UnitaryP_{\mathbb C} \subseteq LWPP}$$\mathsf{EQP}$$\mathsf{LWPP}$ est présenté en termes de machines de Turing non déterministes, mais n'est plus éclairant.$\mathsf{LWPP}$

  Si nous définissons comme l'équivalent à grille inversible de U n i t a r y P C , de sorte que c'est l'ensemble des problèmes qui peuvent être résolus exactement par des familles de circuits inversibles avec des coefficients de grille efficacement calculables, alors G L P C = L W P P .$\mathsf{GLP}_{\mathbb C}$$\mathsf{UnitaryP_{\mathbb C}}$$\mathsf{GLP_{\mathbb C} = LWPP}$

• Si nous limitons à la porte-ensembles finis, il est possible de montrer que les familles de circuits unitaires peuvent être simulés dans un sous - ensemble de , que l' on pourrait appeler L P W P P . (En utilisant la description de L W P P ci-dessus, cela correspond à des algorithmes randomisés où la probabilité d'obtenir une sortie de 1 pour les instances YES est exactement m t ( x ) / 2 p ( | x | ) , pour certains polynômes p , certains entier $\mathsf{LWPP}$$\mathsf{LPWPP}$$\mathsf{LWPP}$$m^{t(x)} / 2^{p(|x|)}$$p$$m$, et un polynôme efficacement calculable .)$t$

  Si l' on définit soit l'équivalent-inversible grille E Q P comme il est normalement défini, on peut montrer que E Q P G L ⊆ L P W P P .$\mathsf{EQP_{\mathrm{GL}}}$$\mathsf{EQP}$$\mathsf{EQP_{\mathrm{GL}} \subseteq LPWPP}$

Une correction concernant DISCRETE LOG.

Les résultats ci-dessus s'appuient sur des techniques standard pour représenter les coefficients algébriques, d'une manière qui est indépendante de l'entrée (mais qui peut dépendre de la taille de l'entrée). Dans la description de la question initiale, j'ai affirmé que [ Mosca + Zalka 2003 ] montrent que DISCRETE LOG est exactement résoluble par un ensemble de portes avec des coefficients efficacement calculables. La vérité semble être plus compliquée. Si l'on se soucie de la solvabilité exacte, je considère que la représentation exacte des coefficients est importante: mais Mosca et Zalka ne fournissent pas un moyen de le faire d'une manière dépendante des entrées. Il n'est donc pas évident que DISCRETE LOG soit en fait dans ou dans la nouvelle classe U n i t a r y $\mathsf{EQP}$ .$\mathsf{UnitaryP_{\mathbb C}}$

Référence.

• de Beaudrap, Sur le comptage exact et la complexité quasi-quantique , [ arXiv: 1509.07789 ].