Complexité informatique de pi

Laisser

$L = \{ n : \text{the }n^{th}\text{ binary digit of }\pi\text{ is }1 \}$

(où $n$ est considéré comme codé en binaire). Que dire alors de la complexité de calcul de ? Il est clair que . Et si je ne me trompe pas, les incroyables algorithmes de "type BBP" pour calculer le bit de utilisant le temps quasi-linéaire et la mémoire , sans avoir besoin de calculer les bits précédents, donnent . $L$ $L\in\mathsf{EXP}$ $n^{th}$ $\pi$ $(\log n)^{O(1)}$ $L\in\mathsf{PSPACE}$

Pouvons-nous faire encore mieux et placer (disons) dans la hiérarchie de comptage? Dans l'autre sens, y a-t-il un résultat de dureté quelconque pour (même extrêmement faible, comme -dureté)? $L$ $L$ $\mathsf{TC}^0$

Une langue apparentée intéressante est

$L' = \{ \langle x,t\rangle : x\text{ occurs as a substring within the first }t\text{ digits of }\pi \}$

(où encore, est écrit en binaire). On a $t$

$L' \in \mathsf{NP}^L$

et donc ; Je serais extrêmement intéressé si quelque chose de mieux était connu. $L' \in \mathsf{PSPACE}$

cc.complexity-theory na.numerical-analysis

— Scott Aaronson
source

(1) Parce que

est le nombre transcendantal le plus célèbre, et on en sait beaucoup sur lui. (2) Parce que je voulais un exemple concret. (Je serais bien sûr également très intéressé par les questions analogues pour

π

$\pi$

e

$e$

, etc., dans quelle mesure les réponses diffèrent.) (3) Parce que, pour le

de Chaitin, je connais déjà la réponse: à savoir, calculer le

chiffre binaire n'est pas calculable! (Et jesupposequ'il est possible de donner une réduction montrant que le problème de recherche de sous-séquence est également non calculable pour

... tout le monde voit comment?)

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$

Ω

$\Omega$

n^{t h}

$n^{th}$

Ω

$\Omega$

— Scott Aaronson

@ScottAaronson, je pense que nous pouvons itérer sur toutes les chaînes

de longueur

et demander si

est dans la langue; cela nous donne tous les

premiers bits de

x

$x$

t

$t$

⟨ x, t ⟩

$\langle x, t \rangle$

t

$t$

Ω

$\Omega$

— usul

J'ai un langage "de type théorie des nombres" similaire:

:-)

L = {n ∣ the second lower bit of the n -th prime number is 1}

$L = \{ n \mid \text{ the second lower bit of the }n\text{-th prime number is } 1\}$

— Marzio De Biasi

Soit dit en passant, j'ai vérifié Weihrauch, à la fin de la section 7.2, il indique que le n-ième bit des fonctions trigonométriques et leurs inverses peuvent être calculés dans le temps

utilisant la représentation à chiffres signés (permettant

dans en plus de

tant que chiffre) sur des sous-ensembles compacts de leur domaine. (

est la complexité de la multiplication d'entiers binaires.)

t_{m} (n) \lg n

$t_m(n) \lg n$

- 1

$-1$

0

$0$

1

$1$

t_{m}

$t_m$

— Kaveh

cs.nyu.edu/exact/doc/pi-log.pdf

— sdcvvc

OK, James Lee m'a pointé sur cet article de 2011 de Samir Datta et Rameshwar Pratap, qui prouve que ma langue (codant les chiffres de ) est au quatrième niveau de la hiérarchie de comptage ( ; merci à SamiD ci-dessous pour avoir signalé un manquant dans le journal, que j'avais simplement répété dans ma réponse!). L'article traite également explicitement de ma question des bornes inférieures sur la complexité du calcul des chiffres binaires des nombres irrationnels, bien qu'il ne parvienne qu'à prouver une borne inférieure très faible pour le calcul des chiffres binaires du rationnel. $L$ $\pi$ $\mathsf{PH}^{\mathsf{PP}^{\mathsf{PP}^{\mathsf{PP}}}}$ $\mathsf{PP}$ Nombres. Ceci est exactement ce que je cherchais.

Mise à jour (3 avril): Une conséquence amusante du fait que les chiffres de sont calculables dans la hiérarchie de comptage est la suivante. Supposons que est un nombre normal (dont l'expansion binaire converge rapidement vers "effectivement aléatoire"), et supposons que (avec la simulation impliquant seulement une petite surcharge polynomiale). Il serait alors possible de programmer votre ordinateur pour trouver, par exemple, la première occurrence des travaux complets de Shakespeare dans l'expansion binaire de . Si vous semble absurde, alors peut - être il devrait être considéré comme une preuve supplémentaire que . :-) $\pi$ $\pi$ $\mathsf{P} = \mathsf{PP}$ $\pi$ $\mathsf{P} \ne \mathsf{PP}$

— Scott Aaronson
source

D'accord, mais ça dit que je dois attendre 5 heures avant de le faire!

— Scott Aaronson

BTW, le document mentionné ci - dessus permet de réduire sensiblement le problème de

et cite de façon erronée la tenue en

. La limite la plus connue est actuellement

comme indiqué ici: eccc.hpi-web.de/report/2013/177

B i t S L P

$\mathsf{BitSLP}$

P H^{P P^{P P}}

$\mathsf{PH^{PP^{PP}}}$

P H^{P P^{P P^{P P}}}

$\mathsf{PH^{PP^{PP^{PP}}}}$

— SamiD