Clique plantée en G (n, p), variant p

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Dans le problème des cliques plantées, il faut récupérer une -clique plantée dans un graphe aléatoire Erdos-Renyi . Cela a surtout été examiné pour $k$ $G(n,p)$ , auquel cas il est connu pour être soluble dans le temps polynomial si $p=\frac{1}{2}$ et conjecturé dur pour $k > \sqrt{n}$ . $k< \sqrt{n}$

Ma question est: que sait-on / croit-on des autres valeurs de ? Plus précisément, lorsque est une constante dans ? Existe-t-il des preuves que, pour chaque valeur de , il existe des pour lesquels le problème est difficile à calculer? $p$ $p$ $[0,1]$ $p$ $k=n^{\alpha}$

Les références seraient particulièrement utiles, car je n'ai pas réussi à trouver de littérature qui examine le problème pour des valeurs autres que . $p=\frac{1}{2}$

cc.complexity-theory approximation-algorithms approximation-hardness

— srd
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oui, il est difficile pour certains paramètres basés sur le phénomène de point de transition complet NP qui est plus étudié pour SAT mais qui vaut aussi pour le problème de clique & a été étudié un peu / moins là-bas. cela est étroitement lié à la recherche de limites inférieures sur les circuits monotones pour le problème de clique et les fonctions de tranche. il y a quelques questions connexes sur le site, peut les déterrer. le récent article de Rossman sur la dureté de la fonction clique est pertinent. etc ... pourrait fonctionner dans la réponse plus tard selon que d'autres se présentent ...

— vzn

cette dureté Q / A de la clique paramétrée tcs.se devrait répondre directement à votre question. répondre dans le chat théorique de l'informatique pour plus de discussion

— vzn

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Merci. Cependant, j'étais principalement préoccupé par la version plantée, et non par la version la plus défavorable (qui, comme vous le dites, est NP complète pour p constant).

— srd

ok, il semble que la "clique plantée" soit généralement limitée à G (n, ½) comme vous le dites comme dans ce récent article Statistical Algorithms and a Lower Bound for Detecting Planted Clique de Feldman et al qui le considère et cite des références associées mais encore une fois ne considérez p ≠ ½. le problème global semble être "proche" de trouver des cliques d'une certaine taille dans un graphique G (n, p) pour certains choix de paramètres (le dernier est apparemment beaucoup plus étudié que dans le tcs.se pg lié) mais n'a pas vu que connexion signalée ou élaborée / détaillée ailleurs.

— vzn

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Si est constant, alors la taille de la clique maximale dans le modèle est presque partout un multiple constant de , avec la constante proportionnelle à . (Voir Bollobás, p.283 et Corollaire 11.2.) La modification de ne devrait donc pas affecter la dureté de la plantation d'une clique avec des sommets tant que la clique est trop petite pour qu'une approche algorithmique existante fonctionne. J'attends donc qu'avec une constante $p$ $G(n,p)$ $\log n$ $\log (1/p)$ $p$ $\omega(\log n)$ la dureté de Plantée doit se comporter juste Clique comme le cas, bien qu'il soit possible que le cas de très proche de 0 ou 1 peut se comporter différemment. $p \ne 1/2$ $p=1/2$ $p$

En particulier, pour le même seuil de de pour la taille de la clique planté applique, au- dessus duquel le problème devient en temps polynomial. La valeur de est ici (et non pas une autre valeur) parce que la fonction thêta Lovász de est presque sûrement entre $p\ne 1/2$ $\Omega(n^{\alpha})$ $\alpha = 1/2$ $\alpha$ $1/2$ $G(n,p)$ et $0.5\sqrt{(1-p)/p}\sqrt{n}$ , par un résultat de Juhász. L'algorithme de Feige et Krauthgamer utilise la fonction thêta de Lovász pour trouver et certifier une plus grande clique, il s'appuie donc sur cette taille de seuil pour la clique plantée. $2\sqrt{(1-p)/p}\sqrt{n}$

Bien sûr, il peut y avoir un algorithme différent qui n'utilise pas la fonction thêta Lovász, et que pour des valeurs de loin de peut trouver une clique planté par exemple sommets. Pour autant que je sache, cela est toujours ouvert. $p$ $1/2$ $n^{1/3}$

Feige et Krauthgamer discutent également lorsque n'est pas constant mais dépend de , et est proche de 0 ou proche de 1. Dans ces cas, il existe d'autres approches pour trouver des cliques plantées, et la taille du seuil est différente. $p$ $n$

Béla Bollobás, Random Graphs (2e édition), Cambridge University Press, 2001.
Ferenc Juhász, le comportement asymptotique de « Lovász fonction de graphes aléatoires $\vartheta$ , Combinatorica 2 (2) 153-155, 1982. doi: 10.1007 / BF02579314
Uriel Feige et Robert Krauthgamer, Trouver et certifier une grande clique cachée dans un graphique semi -aléatoire, Random Structures & Algorithms 16 (2) 195–208, 2000. doi: 10.1002 / (SICI) 1098-2418 (200003) 16: 2 <195 :: AID-RSA5> 3.0.CO; 2-A

— András Salamon
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Merci. Cela semble résumer l'état de l'art et confirmer que rien de trop définitif n'est connu. La meilleure preuve que le problème se comporte de manière similaire semble être la valeur de la fonction thêta de Lovasz, comme vous le faites remarquer.

— 2014

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clique plantée pour est un cas particulier de ce problème et de nouveaux résultats (bornes inférieures) comme indiqué sur p2, etc. et il inclut des références associées. (2015) $p \neq \frac{1}{2}$

$k$ $k$ $1 −\varepsilon$ $n^{\tilde{\Omega}(\log n)}$

$k$

— vzn
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Voici un nouvel article qui a un algorithme pour p ≠ ½ arbitraire basé sur un algorithme SVD. voir p.4 pour l'analyse de la clique cachée (plantée).

UN ALGORITHME SVD SIMPLE POUR TROUVER DES PARTITIONS CACHÉES Van Vu

Abstrait. Trouver une partition cachée dans un environnement aléatoire est un problème général et important, qui contient comme sous-problèmes de nombreuses questions célèbres, telles que trouver une clique cachée, trouver une coloration cachée, trouver une bipartition cachée, etc. Dans cet article, nous fournissons un SVD simple algorithme à cet effet, répondant à une question de McSherry. Cet algorithme est très facile à implémenter et fonctionne pour les graphes clairsemés avec une densité optimale.

— vzn
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p = 1 / 2

$p=1/2$

p

$p$

p

$p$

Ω (\sqrt{n})

$\Omega(\sqrt{n})$

p = ½

$p=½$

p

$p$

p

$p$

p \neq ½, k = n^{α}

$p≠½, k=n^\alpha$

α

$\alpha$