Problèmes avec une solution efficace, sauf pour une petite fraction des entrées

Le problème d'arrêt des machines Turing est peut-être l'ensemble canonique indécidable. Néanmoins, nous prouvons qu'il existe un algorithme qui en décide presque toutes les instances. Le problème de l'arrêt fait donc partie de la collection croissante de ceux qui présentent le phénomène de «trou noir» de la théorie de la complexité, par lequel la difficulté d'un problème irréalisable ou indécidable est confinée à une très petite région, un trou noir, en dehors duquel le problème est facile.

[Joel David Hamkins et Alexei Miasnikov, " Le problème d'arrêt est décidable sur un ensemble de probabilités asymptotiques ", 2005]

Quelqu'un peut-il fournir des références à d'autres «trous noirs» dans la théorie de la complexité, ou à un autre endroit où ce concept ou des concepts connexes sont discutés?

— Jim Graber
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Joel visite régulièrement MathOverflow, vous pouvez poser la question ici pour obtenir une réponse de sa part. IIRC il y avait une question sur le résultat là-bas.

— Kaveh

Voir aussi HeurP .

— Kaveh

Un autre exemple est peut-être l'isomorphisme des graphes (qui est un problème intermédiaire NP). Sur les "instances réelles", c'est très facile (trivial pour les instances aléatoires?) Et pour de nombreuses classes de graphes, il existe un algorithme polynomial temporel. Le «trou noir» semble si serré qu'il n'est pas si facile de générer des instances dures et nauty, l'un des outils les plus efficaces pour le résoudre , est souvent utilisé pour générer des instances (dures). Mais peut-être, le "trou noir" disparaîtra et laissera le pauvre GI dans P :-D

— Marzio De Biasi

@Marzio, les exemples non réels ne sont généralement pas une petite fraction de toutes les instances et sont différents de ce à quoi ils font référence dans le document.

— Kaveh

HeurP sonne comme s'il suppose une distribution de probabilité sur les instances, mais je pense qu'une bonne formalisation différente du phénomène serait la suivante: le langage

est difficile pour une classe, mais il existe un problème de promesse

qui est dans une classe plus facile avec

"asmyptotically dense" dans

"asymptotically dense" dans

, où asmyptotically est comme la taille des chaînes dans les langues va à l'infini.

A

$A$

A^{'} = (A_{y}^{'}, A_{n}^{'})

$A' = (A'_y,A'_n)$

A_{y}^{'}

$A'_y$

A

$A$

A_{n}^{'}

$A'_n$

\bar{A}

$\bar{A}$

— usul

Réponses:

Je ne sais pas si c'est ce que vous cherchez, mais la transition de phase en SAT aléatoire en est un exemple. Soit le rapport du nombre de clauses au nombre de variables. Ensuite, une instance SAT aléatoire avec le paramètre est très susceptible d'être satisfaisante si est inférieure à une constante fixe (près de 4,2) et est très probablement insatisfaisante si est un peu plus que cette constante. Le "trou noir" est la transition de phase. $\rho$ $\rho$ $\rho$ $\rho$

— Suresh Venkat
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Semblable à cela, le cycle de Ham peut être démontré comme pouvant être résolu par le polytime sur un graphique aléatoire (selon un processus de génération aléatoire raisonnable), mais il est difficile à NP juste à cause d'exemples très spécialement construits. Il existe de nombreux autres exemples dans ce sens.

— JimN

Comme le problème de l'arrêt, le problème de correspondance de Post est indécidable en général. La thèse de maîtrise de Ling Zhao décrit un large ensemble d'instances résolubles du problème PCP, y compris certaines instances "dures". Mais je ne sais pas si la taille / densité / mesure de son ensemble d'instances résolubles est comparable au résultat du problème d'arrêt que vous citez.

http://webdocs.cs.ualberta.ca/~games/PCP/paper/CG2002.pdf

— JimN
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