Dureté UGC du prédicat pour ?

Contexte :

Dans le document UGC original de Subhash Khot ( PDF ), il prouve la dureté UG de décider si une instance CSP donnée avec des contraintes toutes de la forme Pas-tout-égal (a, b, c) sur un alphabet ternaire admet une affectation satisfaisante 1 - des contraintes ou s'il n'y a pas d'affectations satisfaisant des contraintes, pour arbitrairement petit .$\epsilon$ϵ>$\frac{8}{9}+\epsilon$$\epsilon > 0$

Je suis curieux de savoir si ce résultat a été généralisé pour toute combinaison de contraintes -ary pour et de domaines variables de taille où . C'est,ℓ ≥ 3 k ≥ 3 ℓ ≠ k ≠ $\ell$$\ell \ge 3$$k \ge 3$$\ell \ne k \ne 3$

Question :

Existe-t-il des résultats de dureté d'approximation connus pour le prédicat pour pour et ? x i ∈ G F ( k ) ℓ , k ≥ 3 ℓ ≠ k ≠ $NAE(x_1, \dots, x_\ell)$$x_i \in GF(k)$$\ell, k \ge 3$$\ell \ne k \ne 3$

Je suis particulièrement intéressé par la combinaison de valeurs ; par exemple, le prédicat Not-all-equal ( ) pour .$\ell = k$$x_1, \dots, x_k$$x_1 \dots, x_k \in GF(k)$

J'ai réalisé que ce que j'ai affirmé ci-dessus est en fait connu.

Pour et k ≥ 3 arbitraire , ceci est dans l'article FOCS 2002 de Khot "Dureté de coloration des hypergraphes 3-uniformes 3-colorables" (l'article parle en fait de k général , bien que le titre ne parle que du cas 3-colorable) .$\ell = 3$$k \ge 3$$k$

Pour et k ≥ 2 , en effet une dureté plus forte est connue. Même s'il est en fait une cession de seulement deux valeurs aux variables qui satisfait toutes les contraintes NAE (en d' autres termes , le ℓ hypergraphe -uniform peut être coloré avec 2 couleurs sans hyperarête monochrome), il est encore NP-difficile de trouver un affectation à partir d'une taille de domaine k qui satisfait au moins 1 - 1 / k ℓ - 1 + ϵ contraintes NAE (pour une constante arbitraire ϵ > $\ell \ge 4$$k \ge 2$$\ell$$k$$1-1/k^{\ell-1}+\epsilon$$\epsilon > 0$). Cela découle facilement du fait que le résultat d'inapproximabilité connu pour la coloration hypergraphique 2 donne une forte déclaration de densité dans le cas de la solidité. La déclaration officielle apparaît dans mon article SODA 2011 avec Ali Sinop «La complexité de la recherche d'ensembles indépendants dans des graphes à degrés bornés (hyper) de faible nombre chromatique» (lemme 2.3 dans la version finale SODA et lemme 2.8 dans l'ancienne version disponible sur ECCC http://eccc.hpi-web.de/report/2010/111/ ).

J'ai atterri sur cette page à partir d'une recherche sur NAE-3SAT.

Je suis à peu près sûr que pour le problème que vous posez, il devrait être difficile de déterminer si l'instance est satisfaisable, ou si au plus fraction des contraintes peut être satisfaite. Autrement dit, un résultat de dureté serré (correspondant à ce que le simple fait de choisir une affectation aléatoire permettrait), pour des instances satisfaisables , et pas besoin de l'UGC.$1-1/k^{\ell-1}+\epsilon$

Pour et ℓ ≥ 4 , cela découle du résultat d'inapproximabilité du facteur 7/8 + epsilon de Hastad pour le fractionnement à 4 ensembles (qui peut ensuite être réduit au fractionnement à l'ensemble k pour k > 4 ). Si les négations sont correctes, on peut également utiliser son résultat de dureté serrée pour Max ( ℓ - 1 ) -SAT.$k=2$$\ell \ge 4$$k > 4$$\ell-1$

Pour , Khot l'a prouvé dans un article de FOCS 2002 "Dureté de coloration des hypergraphes 3-colorables 3-uniformes." (C'est-à-dire qu'il a supprimé l'hypothèse UGC d'origine.)$k=\ell=3$

Pour et k ≥ 3 arbitraire , Engebretsen et moi avons prouvé un tel résultat dans "La satisfaction des contraintes sur deux variables est-elle toujours facile? Structure aléatoire. Algorithmes 25 (2): 150-178 (2004)". Cependant, je pense que notre résultat a nécessité un "pliage", c'est-à-dire que les contraintes seront en fait de la forme NAE ( x i + a , x j + b , x k ) pour certaines constantes a , b . (C'est l'analogue d'autoriser les négations des variables booléennes.)$\ell=3$$k\ge 3$$x_i+a,x_j+b,x_k$$a,b$

Pour le cas général, je ne sais pas si cela a été écrit quelque part. Mais si vous en avez vraiment besoin, je peux probablement trouver quelque chose ou vérifier la réclamation.

Prasad Raghavendra dans son STOC'08 Best Paper a prouvé, en supposant la conjecture des jeux uniques, qu'un algorithme de programmation semi-défini simple donne la meilleure approximation pour tout problème de satisfaction de contrainte (y compris NAE) avec des contraintes sur un nombre constant de variables chacune et avec un alphabet constant. Pour savoir réellement quel est le facteur de dureté pour NAE, vous devez comprendre à quel point l'algorithme simple le fait, c'est-à-dire prouver un écart d'intégralité pour le programme. Je ne sais pas si quelqu'un l'a déjà fait pour NAE dans son intégralité ou non.