Propriété graphique NP-complète héréditaire mais non additive?

12

Une propriété de graphe est appelée héréditaire si elle se ferme par rapport à la suppression de sommets (c'est-à-dire que tous les sous-graphes induits héritent de la propriété). Une propriété de graphe est appelée additive si elle est fermée par rapport à la prise d'unions disjointes.

Il n'est pas difficile de trouver des propriétés héréditaires, mais pas additives. Deux exemples simples:

$\;\;\;$ (1) Le graphique est complet.

$\;\;\;$ (2) Le graphique ne contient pas deux cycles sommet-disjoints.

Dans ces cas, il est évident que la propriété est héritée par des sous-graphes induits, mais en prenant deux graphes disjoints qui ont la propriété, leur union peut ne pas la conserver.

Les deux exemples ci-dessus sont des propriétés décidables par polytemps (bien que pour (2), elles soient un peu moins triviales). Si nous voulons des propriétés plus dures, elles pourraient toujours être créées en suivant le modèle de (2), mais en remplaçant les cycles par des types de graphiques plus compliqués. Ensuite, cependant, on peut facilement courir dans la situation où le problème ne reste pas même dans , selon les hypothèses de complexité standard, tels que . Il semble moins trivial de trouver un exemple qui reste dans , mais c'est toujours difficile. $NP$ $NP\neq coNP$ $NP$

Question: Connaissez-vous une propriété de graphe (de préférence naturelle) complète héréditaire mais non additive? $NP$

— Andras Farago
source

4

Vous avez posé un certain nombre de questions sur les propriétés "naturelles". Il pourrait être utile de comprendre la motivation de certaines de ces questions.

— Suresh Venkat

1

@Suresh Je voudrais mieux comprendre ce qui rend un problème naturel, par opposition à artificiel. Je pense que le concept de naturalité est un pont important entre la théorie et la réalité, et qu'il vaut la peine d'être exploré. Ce que je trouve intrigant, c'est que même si nous n'avons pas de définition formelle des problèmes qui sont «naturels», les gens ont généralement un consensus clair quant à savoir si un problème spécifique est naturel ou non. Je vais peut-être poster une question distincte sur ce problème, pour en savoir plus sur la façon dont les autres le voient.

— Andras Farago

9

$k$ $k$

De toute évidence, la prise de sous-graphiques induits ne peut pas augmenter la taille minimale d'une telle partition. En revanche, lorsque vous prenez l'union disjointe de deux graphes, vous devez prendre l'union de la partition en cliques de chacun.

— Vinicius dos Santos
source

k

$k$

k

$k$

k

$k$

k

$k$

h e r e d i t a r y

$hereditary$

k

$k$

k

$k$

4

k

$k$

k

$k$

1

k = 3

$k=3$

G_{1}

$G_1$

G_{2}

$G_2$

1

Considérez ce problème

$G$ $P$ $Q$

Il reste NP complet même si les propriétés sont héréditaires.

Désormais, une solution du problème ci-dessus pour un graphique fournit également une solution pour les sous-graphiques induits. Mais en prenant l'union de graphes de la même famille que G pourrait ne pas être résolu en utilisant cette solution.

Par exemple, le partitionnement de graphes généraux dans des graphes à intervalles unitaires disjoints est NP complet, mais en prenant l'union de tous les bords possibles (ce qui rend le graphe complet) résout le problème trivialement.

— Dibyayan
source

1

Veuillez noter que la question recherche une propriété qui n'est pas additive. Dans votre exemple, rien ne semble garantir qu'il doit exister deux graphes qui ont tous deux la propriété, mais leur union disjointe ne l'est pas.

— Andras Farago

1

$G = (V,E)$ $C_1,\ldots,C_m$ $C_i$ $V$ $E$ $C_i$

$k \geq 3$ $G$ $k$

$k = 2$

Si (1) est vrai, il devrait répondre à votre question, car il donne une propriété héréditaire, mais clairement pas additive.

(NOTE AJOUTÉE: la conjecture (2) est différente de la "conjecture de couverture à double cycle" de Szekeres et Seymour, malgré l'homonymie).

— Super8
source

1

Cette propriété n'est pas héréditaire. La suppression d'un sommet peut augmenter le nombre de cycles nécessaires pour couvrir tous les bords, car le sommet supprimé peut éliminer un cycle qui était utilisé pour couvrir de nombreux bords. L'exemple le plus simple est celui où le graphique entier n'est qu'un cycle. La suppression d'un sommet rend toute couverture de cycle impossible, car aucun cycle n'est laissé.

— Andras Farago

G

$G$

G

$G$

v

$v$

v

$v$

k

$k$