Séparations de classes de complexité sans théorèmes de hiérarchie

Les théorèmes de la hiérarchie sont des outils fondamentaux. Un bon nombre d'entre eux ont été rassemblés dans une question précédente (voir Quelles hiérarchies et / ou théorèmes de hiérarchie connaissez-vous? ). Certaines séparations de classes de complexité découlent directement des théorèmes de hiérarchie. Exemples de séparations bien connues: $L\neq PSPACE$ , , , . $P\neq EXP$ $NP\neq NEXP$ $PSPACE\neq EXPSPACE$

Cependant, toutes les séparations ne découlent pas d'un théorème de hiérarchie. Un exemple très simple est . Même si nous ne savons pas si l'un d'eux contient l'autre, ils sont toujours différents, car est fermé par rapport aux transformations polynomiales, tandis que ne l'est pas. $NP\neq E$ $NP$ $E$

Quelles sont les séparations de classes de complexité plus profondes, inconditionnelles et non relativisées pour les classes uniformes qui ne découlent pas directement d'un théorème de hiérarchie?

cc.complexity-theory complexity-classes hierarchy-theorems

— Andras Farago
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Je pense qu'il est un peu inhabituel d'appeler

N P \neq E

$NP\neq E$ une séparation. Leur inégalité est également pour des raisons triviales et ne nous dit rien d'intéressant. AFAIK toutes les séparations de classes de complexité intéressantes pour les classes de grande complexité reposent sur les théorèmes de hiérarchie (et à leur tour la diagonalisation) à un moment donné.

— Kaveh

Certes, il est en effet inhabituel d'appeler

N P \neq E

$NP\neq E$ une séparation, car cela vaut pour des raisons triviales. Je l'ai seulement présenté pour montrer un exemple simple où aucun théorème de hiérarchie n'est nécessaire.

— Andras Farago

Err, la preuve de NP! = E ne dépend d'un théorème de hiérarchie! La façon dont cela fonctionne est que vous supposez d'abord NP = E, puis utilisez les propriétés de fermeture de NP pour déduire que E = EXP, violant ainsi le théorème de la hiérarchie temporelle.

— Scott Aaronson

Merci, Scott, vous avez parfaitement raison.

n'était pas le bon exemple. J'en ai affiché une meilleure parmi les réponses.

N P \neq E

$NP\neq E$

— Andras Farago

Donc, même de telles inégalités reposent sur la diagonalisation:

mais

. Sympa et pas si banal après tout.

E \subseteq N P \subseteq A C^{0} \circ N P \subseteq A C^{0} \circ E \subseteq E X P

$E \subseteq NP \subseteq AC^0\circ NP \subseteq AC^0 \circ E \subseteq EXP$

E ⊊ E X P

$E \subsetneq EXP$

— Kaveh

Réponses:

J'adorerais me tromper, mais je ne pense pas qu'il existe actuellement de bornes inférieures uniformes qui ne soient finalement pas basées sur l'un des théorèmes de la hiérarchie. Notre compréhension actuelle de la façon de tirer parti de l'uniformité est vraiment très limitée en ce sens.

D'un autre côté, il existe de nombreuses limites inférieures uniformes qui ne découlent pas directement des théorèmes de hiérarchie, mais utilisent un théorème de hiérarchie en combinaison avec d'autres astuces, techniques et résultats intelligents, par exemple:

[Hopcroft-Paul-Valiant]. Ils prouvent que $\mathsf{CSL} \not\subseteq \mathsf{DTIME}(n)$ (la partie sans diagonalisation de leur preuve), puis utilisent le fait que $\mathsf{DTIME}(n) \subseteq \mathsf{DSPACE}(n/\log n)$ $\mathsf{CSL} = \mathsf{NSPACE}(n)$ en combinaison avec la hiérarchie spatiale. Leur résultat + la hiérarchie spatiale implique également . $\mathsf{DSPACE}(n) \nsubseteq \mathsf{DTIME}(n)$
Compromis spatio-temporels pour la satisfaction (voir, par exemple, les introductions de Buss-Williams et leurs références)
[Paul-Pippinger-Szemeredi-Trotter]. Utilise une simulation non triviale de n'importe quelle machine à temps super-linéaire déterministe par une machine à quatre alternances plus rapide, en combinaison avec la hiérarchie de temps déterministe. $\mathsf{DTIME}(n) \neq \mathsf{NTIME}(n)$
Limites inférieures uniformes sur le permanent [ Allender , Allender-Gore , Koiran-Perifel ]
[Williams] (bien qu'il s'agisse techniquement d'une borne inférieure non uniforme, elle utilise un tas d'idées intelligentes en combinaison avec la hiérarchie temporelle non déterministe) $\mathsf{NEXP} \not\subseteq \mathsf{ACC}^0$

— Joshua Grochow
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La séparation de Smolensky est-elle quelque chose que vous cherchiez? $\mathsf{AC}^0\subsetneq\mathsf{TC}^0$

— Arne
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Merci, c'est un bon résultat, mais je cherche des séparations de classes

, pas de classes circuit.

u n i f o r m

$uniform$

— Andras Farago

@AndresFarago: L'uniforme AC ^ 0 est également correctement inclus dans l'uniforme TC ^ 0.

— Emil Jeřábek soutient Monica le

@ EmilJeřábek: Existe-t-il une preuve que l'uniforme

{A C}^{0}

$\mathsf{AC}^0$

{T C}^{0}

$\mathsf{TC}^0$

Je pense que la non-uniformité dans les preuves est secondaire au fait que ce sont des classes plutôt petites où nous en avons une bonne compréhension combinatoire / algébrique. C'est-à-dire que nous les comprenons assez bien pour construire directement un objet qui n'est pas en eux. Là où il y a des classes plus grandes, il n'y a pas une telle compréhension et donc la seule méthode que nous connaissons est de faire une diagonalisation contre toute la classe pour construire de tels objets.

— Kaveh

Un autre exemple non trivial vient du domaine de la complexité moyenne des cas. Rainer Schuler prouve des propriétés intéressantes de la classe qu'il appelle $P_{P-comp}$

$P_{P-comp}$ $\mu$ $\mu$ $P\subseteq P_{P-comp}$ $P_{P-comp}=P$

$L\in P_{P-comp}$ $E$

E \subseteq P^{P_{P - c o m p}} (*)

$E\subseteq P^{P_{P-comp}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (*)$

P_{P - c o m p} \neq P

$P_{P-comp}\neq P$

E \neq P

$E\neq P$

Référence:

[1] R. Schuler, «La fermeture de la table de vérité et la fermeture de Turing du temps polynomial moyen ont des mesures différentes dans EXP», CCC 1996, pdf

— Andras Farago
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