Quelles hiérarchies et / ou quels théorèmes de hiérarchie connaissez-vous?

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J'écris actuellement une enquête sur les théorèmes de hiérarchie sur le TCS. En recherchant des articles apparentés, j'ai remarqué que la hiérarchie était un concept fondamental non seulement dans les domaines du SDC et des mathématiques, mais également dans de nombreuses sciences, allant de la théologie à la sociologie, en passant par la biologie et la chimie. Voyant que la quantité d'informations est vaste, j'espère pouvoir demander de l'aide à cette communauté. Bien sûr, je ne veux pas que vous fassiez une recherche bibliographique pour moi, mais je demande plutôt deux types d'informations:

Les hiérarchies et les théorèmes de hiérarchie qui résultent de votre travail ou du travail de vos collègues ou d’autres personnes avec lesquelles vous êtes familier et que vous pensez ne pas être aussi bien connus. Cela peut être par exemple un théorème de hiérarchie pour un modèle de calcul obscur qui vous intéresse ou une hiérarchie de classes spécifiques, liées par exemple à la théorie des jeux.
Hiérarchies et théorèmes de hiérarchie que vous estimez absolument nécessaires pour être inclus dans une enquête de ce type. Cela me serait probablement déjà connu, mais il serait utile de voir quelles hiérarchies vous considérez plus importantes et pourquoi. Cela pourrait être du type "je considère que le très important, car sans lui nous ne pourrions pas effectuer ce type de recherche" ou bien que "bien que ce soit moins connu, nous utilisons constamment cette hiérarchie dans les systèmes de commande logiques basés sur la logique". c'est un outil important. " . Et oui, je pense que les gens de la logique ont beaucoup de hiérarchies à mentionner, mais gardez à l’esprit que nous parlons de hiérarchies de problèmes. $PH$

Je vais garder une liste mise à jour ici:

$DTIME$ Hiérarchie
$NTIME$ Hiérarchie
$SPACE$ Hiérarchie d'
Arithmétique (également connue sous le nom de Kleene) Hiérarchie
Hiérarchie hyperarithmétique
Hiérarchie analytique
Hiérarchie de Chomsky
Hiérarchie de Grzegorczyk et connexe: hiérarchie de Wainer (croissance rapide), hiérarchie de Hardy
(croissance lente) et hiérarchie de Veblen
La hiérarchie de Ritchie
Hiérarchie d'Axt (telle que définie dans Axt63 )
Hiérarchie des boucles (définie dans MR67 )
$NC$ Hiérarchie ( , ) $AC$ $ACC$
La hiérarchie des profondeurs, telle que définie dans Sipser83
Hiérarchie polynomiale ( ) et hiérarchie moins fine de Meyer-Stockmeyer (pas de distinction entre les quantificateurs) $PH$
Hiérarchie exponentielle ( ) $ELEMENTARY$
$NP$ -Hiérarchie intermédiaire (théorème de Ladner)
Le pas si robuste (Arthur-Merlin) $AM$
Le (non déterministes fixe des paramètres) hiérarchie et la hiérarchie liée W Alternance ( -hierarchy) et -hierarchy (W avec le paramètre dépendant de profondeur) $W$ $AW$ $W^{*}$
Comptage de la hiérarchie
Hiérarchie de Fourier
Hiérarchie booléenne (sur ), également égale à la hiérarchie de requête (sur ) $NP$ $NP$
Hiérarchies pour les tests de propriétés, comme dans GoldreichKNR09
La hiérarchie des profondeurs de points des langages réguliers sans étoiles
$BP_{d}(P)$ : Les classes par des programmes de branchement de taille polynomiale, avec la condition supplémentaire que chaque bit de l'entrée soit testé au plus d fois, forment une hiérarchie pour différentes valeurs de $d$
La hiérarchie temporelle pour la complexité du circuit
La hiérarchie polynomiale dans la complexité de la communication

Remarque: Si vous ne souhaitez pas être mentionné exclusivement, veuillez le préciser. En règle générale, je mentionnerai à la fois la communauté et la personne spécifique qui apporte de nouvelles informations.

— temps
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Cela ressemble beaucoup à une question du Wiki de la communauté. Dois-je le convertir?

— Dave Clarke

Le théorème de Ladner peut être généralisée pour obtenir des hiérarchies infinies entre autres classes ( en supposant qu'ils sont différents) comme entre P et P ^ # P .

— Tyson Williams

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Vous pouvez également mentionner les théorèmes «anti-hiérarchiques», c'est-à-dire les théorèmes de dichotomie. Les théorèmes de dichotomie pourraient probablement faire l'objet d'une enquête complète, mais ils devraient probablement au moins être mentionnés avec quelque chose comme le théorème de Ladner.

— Joshua Grochow

1

Vous ne posez que des questions sur les hiérarchies de classes de problèmes? Il existe également le concept de "hiérarchie de tests", voir arxiv.org/abs/quant-ph/0308032 , par exemple.

— Alessandro Cosentino

1

Oui, seules les hiérarchies de classes de complexité sont prises en compte. Même limité à ceux-ci, il y en a beaucoup pour collecter des informations.

— chazisop

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La hiérarchie de Fourier telle que définie dans «les compromis Yaoyun Shi, Quantum et classique ».

Du zoo de complexité :

$\mathsf{FH}_k$ est la classe de problèmes être résolus par une famille uniforme de circuits quantiques de taille polynomiale, avec niveaux de portes de Hadamard et toutes les autres portes préservant la base de calcul. $k$

$\mathsf{FH}_0 = \mathsf{P}$

$\mathsf{FH}_1 = \mathsf{BPP}$

$\mathsf{FH}_2$ contient la factorisation en raison de l'algorithme d'estimation de phase de Kitaev .

Montrer que la hiérarchie de Fourier est infinie par rapport à un oracle (c’est-à-dire que est strictement contenu dans ) est un problème ouvert . $\mathsf{FH}_k$ $\mathsf{FH}_{k+1}$

— Robin Kothari
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- Dans la lignée des "anti-hiérarchies", le théorème des écarts de Borodin mérite peut-être d'être mentionné.

Théorème. Pour chaque fonction totale calculable telle que , il existe une valeur totale calculable tel que . $f : {\mathbb N} \rightarrow {\mathbb N}$ $f(n) = \Omega(n)$ $g : {\mathbb N} \rightarrow {\mathbb N}$ ${\sf TIME}[g(n)] = {\sf TIME}[f(g(n))]$

Cela contredirait le théorème de la hiérarchie temporelle, sauf que n’est pas constructible dans le temps (c’est pourquoi nous devons avoir des hypothèses de constructibilité dans les déclarations de la plupart des hiérarchies de complexité). $g$

- Il existe également des renforcements intéressants des hiérarchies de temps habituelles, telles que:

T I M E [n^{k}] ⊈ i . o . - T I M E [n^{k - 1}] / (n - \log n)

${\sf TIME}[n^k] \not\subseteq i.o.{\sf -TIME}[n^{k-1}]/(n-\log n)$

(il y a des problèmes dans le temps ne peuvent pas être résolus avec succès à tout moment machine à l'aide de bits de conseil, même pour une infinité de longueurs d'entrée). La preuve est simple: laissez lister les machines temporelles qui prennent bits de conseil en seconde entrée. Définissez qui divise en où, exécute et renvoie la réponse opposée. Puis . $n^k$ $n^{k-1}$ $n-\log n$ $\{M_i\}$ $n^{k-1}$ $n-\log n$ $M'(x)$ $x$ $x=yz$ $|z|=\log |x|$ $M_z(x,y)$ $L(M') \notin i.o.{\sf -TIME}[n^{k-1}]/(n-\log n)$

- Le manque de hiérarchies temporelles connues dans certaines situations devrait être considéré (en tant que problèmes ouverts). Par exemple, ? ${\sf BPTIME}[n] = {\sf BPP}$

— Ryan Williams
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Est-ce ? sinon, l'instruction n'est pas intéressante: il suffit de choisir .

T I M E [g (n)] = T I M E [f (g (n))]

$\mathsf{TIME}[g(n)] = \mathsf{TIME}[f(g(n))]$

g (n) = n

$g(n) = n$

— Sasho Nikolov

@Sasho, il semble que oui. L'énoncé du théorème de gap de Borodin (via le lien) en dit autant.

— Daniel Apon

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Le zoo de complexité vous donne quelques hiérarchies . Parmi eux, la hiérarchie de comptage et la hiérarchie booléenne n'étaient pas déjà citées.

[EDIT] Pour que ma réponse soit plus informative, définissez rapidement la hiérarchie de comptage.

${\sf C_0P} = {\sf P}$
${\sf C_1P} = {\sf PP}$
${\sf C_{k+1}P} = {\sf PP^{C_kP}}$

Ensuite, comme pour la hiérarchie polynomiale, est défini comme . $\sf CH$ $\bigcup_k {\sf C_kP}$

La hiérarchie de comptage a été définie par Wagner [Wag86]. Des liens vers la théorie des circuits à seuil ont été découverts par Allender & Wagner [AW93]. Beaucoup plus récemment, Bürgisser [Bür09] a également utilisé la hiérarchie de comptage pour relier le modèle de Valiant à la conjecture de Shub et Smale. En particulier, il a prouvé que la configuration implique une limite inférieure superpolynomiale pour le permanent. $\tau$ $\tau$

[Wag86] KW Wagner. La complexité des problèmes combinatoires avec une représentation succincte des entrées . Acta Mathematica 23 (3), 325-356, 1986.
[AW93] E. Allender et KW Wagner. Hiérarchies de comptage: circuits à temps polynomial et à profondeur constante . Tendances actuelles en informatique , 469-483, 1993.
[Bür09] P. Bürgisser. Sur la définition d’entiers et la vérification de la limite inférieure du circuit arithmétique . Complexité informatique 18 (1), 81-103, 2009.

— Bruno
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Goldreich et. Al. avoir des théorèmes de hiérarchie pour les tests de propriétés:

Oded Goldreich, Michael Krivelevich, Ilan Newman, Eyal Rozenberg: Théorèmes de hiérarchie pour les tests de propriété. Test de propriété , notes de cours en informatique, vol. 6390, pages 289-294, Springer, 2010.

Aussi sur les CETC .

— Yonatan
source

il est montré ici que la plupart des propriétés nécessitent des requêtes dans le modèle quantique. Cela peut être intégré à la preuve du théorème de la hiérarchie de la réponse pour montrer qu'il est également valable pour les tests de propriétés quantiques. (En fait, pour tout modèle de calcul naturel avec au moins une propriété nécessitant des requêtes à tester, et pour tout calculable vous avez des propriétés qui sont testables requêtes).

Ω (n)

$\Omega(n)$

Ω (g (n))

$\Omega(g(n))$

f (n) \in O (g (n))

$f(n) \in O(g(n))$

Θ (f (n))

$\Theta(f(n))$

— Artem Kaznatcheev

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Sipser a montré une hiérarchie de profondeur dans , c’est-à-dire que les circuits de profondeur de taille poly sont plus puissants que les circuits de profondeur de taille Pol: $AC^0$ $d+1$ $d$

Sipser, ensembles M. Borel et complexité du circuit . STOC 1983.

— Joshua Grochow
source

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Dieter van Melkebeek et ses coauteurs ont des hiérarchies temporelles et spatiales pour les modèles sémantiques avec des conseils, y compris la randomisation.

Dieter van Melkebeek, Konstantin Pervyshev: une hiérarchie de temps générique avec un conseil . Complexité informatique 16 (2): 139-179 (2007)
Jeff Kinne, Dieter van Melkebeek: Résultats de la hiérarchie spatiale pour les modèles randomisés et autres modèles sémantiques . Complexité informatique 19 (3): 423-475 (2010)

— Tyson Williams
source

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Voici plus de hiérarchies pour les classes sémantiques avec des conseils. Plus précisément, pour ZPTIME et RTIME.

Lance Fortnow, Rahul Santhanam, Luca Trevisan. Hiérarchies pour les classes sémantiques . Dans STOC'05.

— Marcos Villagra
source

10

Il y a la hiérarchie de Zheng-Weihrauch pour les nombres réels

X. Zheng et K. Weihrauch. La hiérarchie arithmétique des nombres réels . Mathematical Logic Quarterly.Vol. 47 (2001), n ° 1 51 - 65.

— Quelqu'un
source

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Il existe une classe , définie dans un article de 1975 par L. Adelman et K. Manders, qui est un analogue diophantien de la classe . Un langage est contenu dans ssi il existe un polynôme tel que Si est égal à est un problème ouvert. Cette égalité montrerait des liens entre la théorie des nombres et l'informatique. $\mathsf{D}$ $\mathsf{NP}$ $L$ $\mathsf{D}$ $P$

x \in L \Leftrightarrow \exists y_{1}, \dots y_{n} < p o l y (| x |) : P (x, y_{1}, \dots, y_{n}) = 0.

$x \in L \Leftrightarrow \exists y_1, \dots y_n < poly(|x|) \colon ~P(x, y_1,\dots, y_n) = 0.$

D

$\mathsf{D}$

N P

$\mathsf{NP}$

Il existe un analogue diophantien de la hiérarchie polynomiale, appelé "hiérarchie diophantienne". Les hiérarchies polynomiale et diophantienne sont étroitement liées:

\forall i \geq 1, Σ^{i} D \subset Σ^{i} P \subset Σ^{i + 1} D

$\forall i \ge 1,~\Sigma^i D \subset \Sigma^i P \subset \Sigma^{i + 1}D$

— Alexander Knop
source

Voulez-vous dire doi.ieeecomputersociety.org/10.1109/SFCS.1975.9 ou doi.ieeecomputersociety.org/10.1109/SFCS.1976.13 ?

— András Salamon

D

$D$ est défini dans le second ("Complexité diophantienne").

— GMB

@ AndrásSalamon Les liens ne semblent pas fonctionner.

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Autre hiérarchie stricte: les programmes de branchement qui testent chaque bit un nombre de fois limité. Plus le nombre de tests autorisés est élevé, plus la classe de programmes de branchement est grande. Habituellement, les programmes de branchement sont également limités à la taille polynomiale. BP _d (P) est la classe des programmes de branchement de taille polynomiale pouvant tester chaque bit jusqu'à fois. $d$

L / poly est l'union de BP _d (P) sur tout d , alors que BP _d-1 (P) BP _d (P) pour chaque d . $\subsetneq$

— András Salamon
source

8

La théorie de la complexité paramétrée comporte plusieurs hiérarchies bien que seule la hiérarchie déjà mentionnée apparaisse souvent dans les publications. D'autres sont: $\mathsf{W}$

$\mathsf{A}$ -hierarchy
$\mathsf{AW}$ -hierarchy
$\mathsf{EW}$ -hierarchy
$\mathsf{LOG}$ -hierarchy
$\mathsf{M}$ -hierarchy
$\mathsf{S}$ -hierarchy
$\mathsf{W^∗}$ -hierarchy
$\mathsf{W^{func}}$ -hierarchy

Ils sont tous décrits dans la théorie de la complexité paramétrée, Flum and Grohe, Birkhäuser, 2006 .

— Martin Lackner
source

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Vous ne savez pas si cela correspond à vos critères, mais il existe une hiérarchie de profondeurs de points des langages normaux sans étoiles.

— mhum
source

6

La hiérarchie pour la taille du circuit, voir la question précédente .

— Emanuele Viola
source

5

La théorie des langages réguliers des arbres infinis a donné lieu à plusieurs hiérarchies, actuellement étudiées, avec de nombreuses questions encore en suspens.

Lorsque vous utilisez des automates sur des arbres infinis, la condition de parité (ou condition de Mostowski) présente un intérêt particulier, car les automates à déterminité non déterministe peuvent exprimer tous les langages normaux des arbres ininis, et la structure de la condition d'acceptation est plus simple que d'autres, comme Rabin ou Müller. .

Chaque automate de parité a un rang où et , décrivant la structure de la condition d'acceptation. Par conséquent, si une langue est reconnaissable par un automate (det / ND / alt) de rang on dit que appartient au niveau de (respectivement): $[i,j]$ $i\in\{0,1\}$ $i\leq j$ $L$ $[i,j]$ $L$ $[i,j]$

hiérarchie de Mostowski déterministe (pas toutes les langues normales)
hiérarchie de Mostowski non déterministe
hiérarchie de Mostowski en alternance

Le niveau de la hiérarchie alternante (c'est-à-dire que est définissable à la fois par Büchi et co-Büchi) correspond au niveau faible et se caractérise par de faibles automates alternants, qui donnent lieu à une hiérarchie: $\Sigma_2\cap \Pi_2$ $L$

hiérarchie d'index faible (pas toutes les langues normales)

Pour toutes ces hiérarchies (sauf la déterministe), la décidabilité de l'appartenance à un niveau pour une langue régulière donnée est un problème ouvert. Les liens entre ces hiérarchies et les classifications topologiques (également appelées hiérarchie de Wadge et hiérarchie de Borel) ont également posé plusieurs problèmes non résolus. Par exemple, on suppose que la hiérarchie d'index faible et la hiérarchie de Borel coïncident. On sait que toutes ces hiérarchies sont strictes et certains cas particuliers de décision du niveau (en particulier les niveaux bas ou avec un automate déterministe d'entrée) ont été résolus récemment. $L$

— dkuper
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4

Il existe des hiérarchies dans la complexité de la preuve propositionnelle similaires à celles de la complexité du circuit. Par exemple , les systèmes de toit propositionnels sont similaires à , les systèmes de preuve C-Frege pour sont similaires aux classes de complexité de circuit , etc. $G_i$ $\mathsf{PH}$ $C \subset \mathsf{P}$ $C$

Il existe également des hiérarchies dans les arithmétiques bornées, par exemple les théories , etc. $\mathsf{S^i_j}$

— Kaveh
source

4

Voici une nouvelle hiérarchie pour les langues sans contexte de Tomoyuki Yamakami.

Il introduit un mécanisme oracle dans les automates non déterministes et les notions de Turing et de réductibilités multiples. Ensuite, une nouvelle hiérarchie est construite pour les langages sans contexte (CFL), similaire à la hiérarchie polynomiale. Par exemple, , , etc. Ce qui est intéressant, c'est qu'un effondrement de la hiérarchie des CFL se produit si et seulement si la hiérarchie polynomiale s'effondre. $CFL$ $CFL^{CFL}$

— Marcos Villagra
source

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En développant l'un des points mentionnés par l'OP (GoldreichKNR09): il existe plusieurs théorèmes de hiérarchie dans les tests de propriété et les preuves de proximité, relatifs à la complexité de la requête, à l'adaptivité ou à la testabilité en ce qui concerne le nombre de tours (pour les preuves de proximité). Voir par exemple

Théorèmes de hiérarchie pour les tests de propriétés , Oded Goldreich, Michael KrivelevichIlan Newman et Eyal Rozenberg, 2012. https://link.springer.com/article/10.1007/s00037-011-0022-4 [mentionné par le PO]
Théorème de la hiérarchie des preuves interactives de proximité , Tom Gur et Ron Rothblum, 2017. http://drops.dagstuhl.de/opus/volltexte/2017/8153/
Théorèmes de hiérarchie pour le test de propriétés dans une complexité de requête sans dimension , Oded Goldreich, 2018. https://eccc.weizmann.ac.il/report/2018/098/
Un théorème de hiérarchie d'adaptivité pour les tests de propriétés , Clément Canonne et Tom Gur, 2018. https://link.springer.com/article/10.1007%2Fs00037-018-0168-4

— Clément C.
source

Pointeur sur cette réponse , qui se concentre sur la première (GoldreichKNR09).

— Clement C.

3

À partir de cette question sur cs.stackexchange , j'ai pris conscience de la hiérarchie des genres dans les langages normaux . Pour l'essentiel, vous pouvez caractériser des langages normaux en fonction de la surface minimale du genre dans laquelle le graphe de leur DFA peut être intégré. Il est montré dans [1] qu'il existe des langages de genre arbitrairement grand et que cette hiérarchie est appropriée.

Bonfante, Guillaume et Florian Deloup. " Le genre des langages normaux. " Structures mathématiques en informatique 28.1 (2018): 14-44.

— mhum
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2

Comptage de la hiérarchie polynomiale, #PH en abrégé. Le premier niveau est #P puis #NP ... etc.

— Tayfun Pay
source

1

La hiérarchie polynomiale dans la complexité de la communication telle que définie par Babai, Frankl et Simon (voir le document original ici et sans le mur de paiement ici ). La signification de cette hiérarchie est difficile à surestimer. Tous, la fonction disjoints d' abord été introduite par BFS dans le même journal qui a introduit la hiérarchie, et le disjoints est apparu tout naturellement comme coNP problème -complete. Comme vous le savez, la disjonction est LA fonction dans la complexité de la communication. Deuxièmement, établir des limites inférieures à la hiérarchie polynomiale dans la complexité de la communication est un problème ouvert majeur ayant des implications importantes dans d’autres domaines du système de caméras de télévision (voir par exemple le présent document et les références qu’il contient). $^{cc}$

— Denis Pankratov
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Merci pour l’ajout, j’ai modifié votre commentaire pour que le coNP fasse clairement référence à la complexité de la communication (je sais que cela est généralement oublié dans la communauté de la complexité de la communication afin d’éviter toute confusion dans la notation).

— chazisop

1

Considérons la hiérarchie polynomiale non ambiguë , référence ici , la référence originale ici pour la hiérarchie polynomiale non ambiguë (paywalled). Lors de l’étude de la hiérarchie booléenne BH et des classes telles que qui ont des résultats intéressants liés à la fermeture et des différences définies, nous pouvons explorer les liens avec des calculs non ambigus. $D_{p}$

En tant qu'auteurs (en référence d'origine), les classes et donnent des résultats liés à et . Avec un circuit non ambigu, ils pourraient caractériser différemment. En outre, la hiérarchie de promesse non ambiguë est liée à la hiérarchie ci-dessus. Résultats de niveau inférieur pour la hiérarchie polynomiale non ambiguë - "s'il existe un Completer de Turing peu dense pour , si la hiérarchie s'effondre en niveaux inférieurs ou dans le cas Promise Unambiguous". $NC^{k}$ $AC^{k}$ $P$ $PSPACE$ $P$ $UP$

En relation avec des études ultérieures sur les connecteurs booléens, l’isomorphisme des graphes est la hiérarchie basse et haute , ainsi que la référence wikipedia .

— utilisateur3483902
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Plus sur le côté obscur: Mon théorème de hiérarchie de second ordre pour les logiques à point fixe en théorie des modèles finis. Voir encore un autre théorème de la hiérarchie .

— Max Kubierschky
source