Représenter OR avec des polynômes

23

Je sais que trivialement la fonction OR sur $n$ variables $x_1,\ldots, x_n$ peut être représentée exactement par le polynôme $p(x_1,\ldots,x_n)$ comme tel: $p(x_1,\ldots,x_n) = 1-\prod_{i = 1}^n\left(1-x_i\right)$ , qui est de degré $n$ .

Mais comment pourrais-je montrer, ce qui semble évident, que si $p$ est un polynôme qui représente exactement la fonction OR (donc $\forall x \in \{0,1\}^n : p(x) = \bigvee_{i = 1}^n x_i$ ), alors $\deg(p) \ge n$ ?

— matthon
source

1

Parlez-vous de vrais polynômes? Ou des polynômes modulo 2? Si vous voulez parler de modulo 6 (ou d'autres nombres composites), la question devient plus intéressante.

— Igor Shinkar

30

Soit $f\colon \{0,1\}^n \to \{0,1\}$ une fonction booléenne. S'il a une représentation polynomiale $P$ alors il a une représentation polynomiale multilinéaire $Q$ de degré $\deg Q \leq \deg P$ : il suffit de remplacer toute puissance $x_i^k$ , où $k \geq 2$ , par $x_i$ . Nous pouvons donc limiter notre attention aux polynômes multilinéaires.

Réclamation: Les polynômes , en tant que fonctions forment une base de l'espace de toutes les fonctions . $\{ \prod_{i \in S} x_i : S \subseteq [n] \}$ $\{0,1\}^n \to \mathbb{R}$ $\{0,1\}^n \to \mathbb{R}$

Preuve: Nous montrons d'abord que les polynômes sont linéairement indépendants. Supposons que pour tous . Nous prouvons par (forte) induction sur que . Supposons que pour tous $f = \sum_S c_S \prod_{i \in S} x_i = 0$ $(x_1,\ldots,x_n) \in \{0,1\}^n$ $|S|$ $c_S = 0$ $c_T = 0$ , et on nous donne un ensemble de cardinalité . Pour tous on sait par induction que , et si , où est l'entrée qui est des coordonnées de . $|T| < k$ $S$ $k$ $T \subset S$ $c_T = 0$ $0 = f(1_S) = c_S$ $1_S$ $1$ $S$ $~\qquad\square$

La demande montre que la représentation multilinéaire d'une fonction est unique ( en effet, n'a même pas être -Évaluées). La représentation multilinéaire unique de OR est , qui a le degré . $f\colon \{0,1\}^n \to \{0,1\}$ $f$ $0/1$ $1-\prod_i(1-x_i)$ $n$

— Yuval Filmus
source

26

Soit un polynôme tel que pour tout , . Considérons la symétrisation du polynôme : $p$ $x\in \{0,1\}^n$ $p(x) = \sf{OR}(x)$ $p$ Notez que, comme la fonction OU est une fonction booléenne symétrique, nous avons cela pour,et. Puisqueest un polynôme non nul, et qu'il a au moins0, il doit avoir un degré au moins. Par conséquent,

q (k) = \frac{1}{(\binom{n}{k})} \sum_{x : | x | = k} p (x) .

$q(k) = \frac{1}{\binom{n}{k}} \sum_{x: |x| = k} p(x).$

k = 1, 2, \dots, n

$k = 1, 2, \ldots, n$

q (k) = 1

$q(k) = 1$

q (0) = 0

$q(0) = 0$

q - 1

$q-1$

n

$n$

n

$n$

doit également avoir le degré

.

p

$p$

n

$n$

La symétrisation est souvent utilisée dans l'étude du degré approximatif des fonctions booléennes et de la complexité des requêtes quantiques. Voir, par exemple, http://www.math.uwaterloo.ca/~amchilds/teaching/w11/l19.pdf .

— Henry Yuen
source

Il me semble que pour que votre preuve fonctionne, vous devez montrer que le degré de q est tout au plus le degré de p. Ce n'est pas clair pour moi. Comment montrez-vous cela?

— matthon

Soit d = deg (p). Alors q est une somme de polynômes de degré d, donc le degré de q est au plus d.

— Henry Yuen

3

Yuval et Henry ont donné deux preuves différentes de ce fait. Voici une troisième preuve.

$n$ $n$

Affirmation: Si deux polynômes multilinéaires p et q sont égaux sur l'hypercube, alors ils sont égaux partout.

$\{0,1\}^n$

— Robin Kothari
source