Quelle est la complexité de ce problème de chemin?

Instance: Un graphe non orienté avec deux sommets distincts , et un entier . $G$ $s\neq t$ $k\geq 2$

Question: Existe-t-il un chemin dans , tel que le chemin touche au plus sommets? (Un sommet est touché par le chemin s'il est sur le chemin ou a un voisin sur le chemin.) $s-t$ $G$ $k$

cc.complexity-theory graph-theory graph-algorithms

— Andras Farago
source

Cela ressemble à une minimisation sous-modulaire contrainte. Malheureusement, il n'est pas clair que l'ensemble des contraintes admette une solution efficace.

— Suresh Venkat

Ma réponse de

était probablement incorrecte! Après vérification plus approfondie, l'heuristique ne semble pas être monotone.

A^{*}

$A^*$

— usul

Dans le prolongement du commentaire de Suresh, il vaut la peine de vérifier le document "Approximability of Combinatorial Problems with Multi-agent Submodular Cost Functions" qui montre que le chemin le plus court du coût sous-modulaire est difficile. Peut-être y a-t-il des idées qui montrent de la dureté. computer.org/csdl/proceedings/focs/2009/3850/00/…

— Chandra Chekuri

Ce problème peut être reformulé en trouvant un sous-graphique de chenille avec au plus

sommets qui inclut

sur son plus long chemin.

k

$k$

s

$s$

t

$t$

— Obinna Okechukwu

@Obinna, le sous-graphique de la chenille doit être maximal dans un sens, car nous devons inclure tous les voisins du chemin le plus long

— SamM

Réponses:

Ce problème a été étudié dans:

Shiri Chechik, Matthew P. Johnson, Merav Parter, David Peleg: Problèmes de connectivité isolés. SEC 2013: 301-312.

http://arxiv.org/pdf/1212.6176v1.pdf

Ils ont appelé cela un problème de chemin isolé. C'est en effet NP-difficile, et la version d'optimisation n'a pas d'approximation à facteur constant.

La motivation fournie par les auteurs est un paramètre dans lequel les informations sont envoyées sur le chemin, et seuls les voisins et les nœuds du chemin peuvent les voir. L'objectif est de minimiser l'exposition.

— user20655
source

Edit: Veuillez voir la réponse de user20655 ci-dessous pour une référence à un papier prouvant déjà la dureté de ce problème. Je laisserai mon message d'origine au cas où quelqu'un voudrait voir cette preuve alternative.

===============

$X = \{x_1, x_2, \cdots\, x_n\}$ $C = \{c_1, c_2, c_3, \cdots\}$

$x_i$ $c_i$ $m = 2n+|C|$ $m$ $p_1, p_2, \cdots, p_{m}$

$s$ $t$ $x_i$ $\bar{x_i}$ $c_j$ $p_i$ $c_j$

$x_i$ $c_j$ $x_i$ $\overline{x_i}$ $c_j$ $\overline{x_i}$ $x_i$ $\overline{x_i}$ $x_{i+1}$ $\overline{x_{i+1}}$ $s$ $x_1$ $\overline{x_1}$ $t$ $x_n$ $\overline{x_n}$ $c_i$ $p_j$

Construction de l'instance dure

$\{P_i\}$ $c_j$ $c_j$

$Q + 2n + 2$ $Q$

$s$ $t$ $y_i \in \{x_i, \overline{x_i}\}$ $y_{i+1} \in \{x_{i+1}, \overline{x_{i+1}}\}$ $x_i$ $\overline{x_i}$ $i \in 1, \cdots, n$ (Ceci est intuitif, car la suppression de l'une des deux options de n'importe quelle variable choisie deux fois donne un chemin valide avec un coût pas plus grand que si nous avions conservé les deux).
$m+2$ $s, x_1, x_2, \cdots, x_n, t$ $s$ $t$ $\{x_i\}$ $\{\overline{x_i}\}$ $\{c_i\}$ $s-t$ $s$ $t$ $c_i$ $x_i$ $x_j$ $\{p\}$ $\geq m+5$
$s$ $t$ $c_j$ $c_j$ $Q$ $Q$ $c_j$
$x_i$ $\overline{x_i}$ $s$ $t$ $2n + 2$ $c_i$ $Q$

$\leq k$ $\leq k + 2n + 2$

— Yonatan N
source