Complexité de la recherche du nombre maximal d'ensembles disjoints par paire

Supposons que j'ai des ensembles avec des éléments pris parmi les possibles. Chaque ensemble est de taille ( ), où les ensembles peuvent se chevaucher. Je veux déterminer si les deux problèmes suivants sont NP-complets ou non: $P$ $r$ $n$ $n<r$

Problème A. Y a-t-il ( ) ensembles distincts dans les ensembles (c'est-à-dire que leur intersection par paire est vide)? $M$ $1 \le M \le P$ $P$

Problème B. Maintenant, ( ) éléments peuvent être choisis dans chaque ensemble. Y a-t-il ( ) ensembles distincts de taille chacun dans les ensembles? Notez qu'un seul ensemble de éléments peut être pris dans chaque ensemble de éléments. $k$ $k<n$ $L$ $1 \le L \le P$ $k$ $P$ $k$ $n$

Remarque : je m'intéresse principalement au cas où sont fixes ( ). $k,n$ $n \ge 2, k \ge 2$

Je pense que le problème A peut être considéré comme un problème de correspondance d'hyper-graphes -partite uniforme . Autrement dit, nous avons les éléments de comme sommets, et chaque hyper-bord contient un sous-ensemble de sommets du graphique. $n$ $r$ $r$ $n$

Dans le problème d' appariement d'hyper-graphes -partite uniforme NP-complet? $n$ $r$
Je pense que le problème B équivaut à trouver le nombre d'hyper-bords distincts de cardinalité pris à partir d'hyper-bords de cardinalité . Est-ce que cette version restreinte (dans le sens où chaque ensemble de cardinalité est tirée d'un ensemble présélectionné de éléments plutôt que prise arbitrairement de éléments) du problème A NP-complète? $k$ $n$ $k$ $n$ $r$

Exemple ( ): $n=3,r=5, P=3$

, , $A=\{1,2,3\}$ $B=\{2,3,4\}$ $C=\{3,4,5\}$

Si , il n'y a que un ensemble distinct, qui est ou ou , puisque chacune des paires , , a intersection vide. $k=n=3$ $M=1$ $A$ $B$ $C$ $(A,B)$ $(A,C)$ $(B,C)$

Si , nous avons ensembles distincts: une solution est , (sous-ensembles de et ). $k=2$ $L=2$ $\{1,2\}$ $\{3,4\}$ $A$ $B$

graph-theory np-hardness

— MJK
source

Il s'agit d'un cas spécial du problème d'emballage maximal défini et les problèmes A et B sont tous deux NP-Complete . Notez que le problème est simplement un problème d'appariement si et est également facile si . Je vais donc supposer . $n=2$ $n=1$ $n \ge 3$

Au lieu de poser la question,

Y a-t-il ensembles disjoints parmi les ensembles ? $M$ $P$

Posons la question suivante

Quel est le nombre maximum d'ensembles disjoints que nous pouvons obtenir des ensembles ? $P$

$M$ $M$

$M$ $O(\log{M})$

Nous pouvons donc conclure que les deux questions sont équivalentes. c'est-à-dire que la question 1 est résolue en temps polylomial si et seulement si la question 2 l'est aussi.

$M$

$k=n-1$

$T$ $t$ $T$ $T$ $S_i \in T$ $|S_i| < t$ $(t-|S_i|)$ $S_i$ $T$ $S_i \in T$

$A$ $T$

EDIT - Quelques informations supplémentaires sur le problème B

$T$ $n$ $d$ $T$

$n$

$M$ $T$ $M$ $(M-1)$ $P=NP$

— Obinna
source

n + 1

$n+1$

n = 3, P = 3

$n=3, P=3$

n - 1 = 2

$n-1=2$

{1, d}, {2, 3}, {4, 5}

$\left\{ {1,d} \right\},\left\{ {2,3} \right\},\left\{ {4,5} \right\}$ . Cependant, la solution au problème A est qu'il n'y a qu'un seul ensemble. En d'autres termes, je ne vois pas comment une solution pour le problème B donne une approximation constante des facteurs au problème A.

— MJK

A' = {1, 2, 3, d}, B' = {2, 3, 4, d}

$A′= \left\{ {1,2,3,d} \right\}, B′= \left\{ {2,3,4,d} \right\}$

C' = {3, 4, 5, d}

$C′= \left\{ {3,4,5,d} \right\}$

n = 4

$n=4$

n = 4

$n=4$

k = 3

$k=3$

n = 2

$n=2$

k = 2

$k=2$