Problèmes NP-difficiles sur les chemins

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tout le monde sait qu'il existe de nombreux problèmes de décision qui sont NP-difficiles sur les graphiques généraux, mais je m'intéresse aux problèmes qui sont même NP-difficiles lorsque le graphique sous-jacent est un chemin. Alors, pouvez-vous m'aider à recueillir de tels problèmes?

J'ai déjà trouvé une question connexe sur les problèmes NP-difficiles sur les arbres .

graph-theory np-hardness

— Benjamin
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Si vous voyez cette question, vous devez également lire attentivement la réponse acceptée: "Prenez tout problème NP-difficile lié aux superséquences, superstrings, sous-chaînes, etc. Ensuite, réinterprétez une chaîne comme un graphique de chemin étiqueté."

— Saeed

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Juste une note: si les chemins ne sont pas étiquetés, ils sont évidemment très compressibles et la représentation compacte est un choix raisonnable ( bits pour représenter un chemin de nœuds) ... donc vous pouvez aussi "convertir" des problèmes durs qui n'utilisez pas d'encodage unaire; par exemple somme de sous-ensemble: étant donné chemins non étiquetés de longueur , existe-t-il un sous-ensemble d'entre eux qui peut être joint pour former un chemin de longueur ?

\log n

$\log n$

n

$n$

n

$n$

a_{1}, . . ., a_{n}

$a_1,...,a_n$

b

$b$

— Marzio De Biasi

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Une correspondance arc- en- ciel dans un graphique de couleur de bord est une correspondance dont les bords ont des couleurs distinctes. Le problème est le suivant: étant donné un graphique couleur de bord et un entier , a-t-il un arc-en-ciel correspondant à au moins bords? Ceci est connu sous le nom de problème de correspondance arc- en- ciel , et son NP est complet même pour les chemins correctement colorés. Les auteurs notent même qu'avant ce résultat, aucun problème de graphe non pondéré n'est connu pour être NP- dur pour des chemins simples au meilleur de leur connaissance. $G$ $k$ $G$ $k$

Voir Le, Van Bang et Florian Pfender. "Résultats de complexité pour les correspondances arc-en-ciel." Informatique théorique (2013) , ou la version arXiv .

— Juho
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Voici quelques observations simples.

Un graphique de chemin non coloré code essentiellement un entier, vous pouvez donc prendre tout problème NP-dur impliquant des entiers codés unaires et le réinterpréter comme un problème de graphique de chemin. Si vous autorisez plusieurs entiers encodés en unaire (= une union disjointe de graphes de chemin), vous pouvez utiliser des problèmes fortement NP-complets comme 3-Partition.
Un graphique de chemin en couleur code un mot sur un alphabet fixe, vous pouvez donc à nouveau prendre un problème NP-difficile sur les mots. Un exemple que je connais est le problème des facteurs disjoints introduit à Bodlaender, Thomassé et Yeo .

— Super0
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C'est essentiellement le commentaire de Saeed ..

— RB

Bon, alors n'hésitez pas à voter contre ma réponse. Quant aux problèmes NP-hard sur les arbres, je peux mentionner le problème bien connu de la bande passante; il a été démontré que cela était difficile pour la hiérarchie W dans un rapport de recherche de Bodlaender, que je n'ai pas pu trouver en ligne.

— Super0

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MinCC Graph Motif est NP-hard lorsque le graphe est un chemin (même APX-hard). Étant donné un graphique avec des couleurs sur les sommets et un ensemble de couleurs, trouvez un sous-graphique correspondant à l'ensemble des couleurs et minimisant le nombre de compositions connectées. Voir Problèmes de complexité dans la correspondance de motifs de graphiques de couleur vertex, JDA 2011.

— Olf
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Étant donné un chemin avec nœuds et arêtes pondérées , trouvez si les nœuds peuvent être étiquetés en utilisant des nombres dans (en évitant les étiquettes en double) de telle sorte que la différence absolue de les étiquettes de deux nœuds adjacents sont égales au poids de l'arête: $n$ $1 \leq \text{weight}(u,v) < n$ $[1..n]$

| lab (u) - lab (v) | = weight (u, v)

$| \text{lab}(u) - \text{lab}(v)| = \text{weight}(u,v)$

Cela équivaut au problème de la reconstruction par permutation à partir des différences qui est le NPC (un de mes résultats "non officiels" :-).

— Marzio De Biasi
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Une réponse triviale qui est proche de certains de ce qui apparaît ci-dessus mais, je pense, distincte.

Correction de tout codage calculable en temps polynomial de triplets comme nombres naturels. L'ensemble des valeurs telles que la ème machine de Turing non déterministe accepte sa ème entrée en au plus étapes (où est la longueur de cette entrée) estNP-complet. ( pour que nous codions effectivement $f\colon\mathbb{N}^3\to\mathbb{N}$ $\langle k,m,w\rangle$ $f(k,m,w)$ $m$ $w$ $n^{\log k}$ $n$ $\log k$ $k$ en unaire.) Cet ensemble de valeurs peut être représenté comme un ensemble de chemins.

— David Richerby
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Le problème de flux insécable (UFP) reste NP-difficile sur un chemin. En effet, l'UFP est NP-dur même sur un seul bord, car il est équivalent au problème du sac à dos.

— Arindam Pal
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3

Le Rainbow Dominating Set (RDS) reste NP-difficile sur les chemins. Étant donné un graphique de couleur vertex, un RDS est un DS où chaque couleur du graphique apparaît au moins une fois.

Ensembles dominants tropicaux dans les graphiques de couleur vertex , JDA'18

— Olf
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L'Ensemble Dominant et l'Ensemble Dominant Indépendant sont NP-durs sur les chemins s'il y a aussi en entrée un "graphe de conflit", où une arête dans ce graphe est une paire de sommets qui ne peuvent pas être tous les deux dans la solution.

Cornet, Alexis; Laforest, Christian , Problèmes de domination sans conflits , Application discrète. Math. 244, 78-88 (2018). ZBL1387.05181 .

— Olf
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