Équivalence de la vérification de la faisabilité et de l'optimisation pour les systèmes linéaires

Une façon de montrer que la vérification de la faisabilité d'un système linéaire d'inégalités est aussi difficile que la programmation linéaire passe par la réduction donnée par la méthode ellipsoïde. Un moyen encore plus simple consiste à deviner la solution optimale et à l'introduire comme contrainte via la recherche binaire.

Ces deux réductions sont polynomiales, mais pas fortement polynomiales (c'est-à-dire qu'elles dépendent du nombre de bits dans les coefficients des inégalités).

Y a-t-il une réduction fortement polynomiale de l'optimisation LP à la faisabilité LP?

ds.algorithms linear-programming

— Suresh Venkat
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En fait non. C'est comme tu dis. Je me rends compte que l'optimisation LP résout la faisabilité LP. Je demande la réduction inverse.

— Suresh Venkat,

Eh bien, la sortie pour l'optimisation peut avoir autant de bits que "le nombre de bits dans les coefficients", alors que la faisabilité est oui / non. Ainsi, si par réduction vous voulez dire quelque chose de "boîte noire", alors la réponse doit être négative.

— Noam

Mais, si le contrôle de faisabilité donne non seulement une réponse oui / non comme discuté par Noam ci-dessus, mais plutôt dans le cas de la faisabilité fournit une solution réalisable, alors la réponse est oui, par dualité LP.

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

@SureshVenkat: Supposons que le primal soit un programme de maximisation dans les variables

x

$x$ , le dual étant alors un programme de minimisation dans les variables

y

$y$ . Former ensuite le système des inégalités dans les variables

x, y

$x,y$ , en prenant à la fois les contraintes du primal et du dual, ainsi qu'une inégalité indiquant que la valeur de la solution primale est au moins la valeur de la solution dual. Les cas où le LP est irréalisable et illimité peuvent également être traités.

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

Qu'en est-il des polytopes / polyèdres définis par des contraintes implicites?

— Chandra Chekuri

La réponse est oui, et en fait on peut même réduire au problème de décision la faisabilité des inégalités linéaires!

$\max c^Tx\ \text{s.t.}\ Ax \leq b\ ;\ x\geq 0$

Nous avons en outre accès à un oracle qui étant donné un système d'inégalités renvoie oui / non, que le système soit faisable. $S=\{Bz \leq d\}$

La réduction se déroule désormais comme suit:

Testez si est faisable. Sinon, nous pouvons signaler que P est INFAISABLE. $S_1=\{Ax \leq b\ ;\ x \geq 0\}$
Formez le programme double D: . $\min b^Ty\ \text{s.t.}\ A^Ty \geq c\ ;\ y \geq 0$
Testez si est faisable. Sinon, nous pouvons signaler que P est UNBOUNDED. $S_2=\{Ax \leq b\ ;\ x\geq 0\ ;\ A^Ty\geq c\ ;\ y\geq0 \ ;\ b^Ty \leq c^Tx\}$
Itérer sur les inégalités de et essayer de les ajouter une par une comme égalités (c'est -à- dire ajouter l'inégalité inverse) au système . Si le système reste réalisable, nous conservons la contrainte dans , et sinon la supprimons à nouveau. Soit le système de contraintes (égalités linéaires) qui est ainsi ajouté. Le système va maintenant déterminer complètement une solution de base optimale pour P. $S_1$ $S_2$ $S_2$ $S_3$ $S_3$
En utilisant l'élimination gaussienne sur le système calculez une solution optimale à P. $S_3$ $x$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen
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S_{2}

$S_2$

P

$P$

@hengxin. Il est écrit dans la première ligne de ma réponse que la réponse est oui même lorsque l'on envisage de réduire au problème de décision. Ci-dessous, je fais évidemment cette hypothèse, et donc les étapes 4 et 5 sont nécessaires.

— Kristoffer Arnsfelt Hansen