Implications mathématiques des conjectures de la théorie de la complexité en dehors du TCS

Connaissez-vous les conséquences intéressantes des conjectures (standard) dans la théorie de la complexité dans d'autres domaines des mathématiques (c'est-à-dire en dehors de l'informatique théorique)?

Je préférerais des réponses où:

• la conjecture de la théorie de la complexité est aussi générale et standard que possible; Je suis d'accord avec les conséquences de la dureté de problèmes spécifiques aussi, mais ce serait bien si les problèmes sont généralement considérés comme durs (ou du moins ont été étudiés dans plus de deux articles)

• l'implication est une déclaration qui n'est pas connue pour être vraie sans condition, ou d'autres preuves connues sont considérablement plus difficiles

• plus la connexion est surprenante, mieux c'est; en particulier, l'implication ne doit pas être une déclaration explicite sur les algorithmes

"Si les porcs pouvaient voler, les chevaux chanteraient". Les connexions de type sont également acceptables, tant que les porcs volants proviennent de la théorie de la complexité et les chevaux qui chantent d'un domaine mathématique en dehors de l'informatique.

Cette question est en quelque sorte «l'inverse» d'une question que nous avions sur les utilisations surprenantes des mathématiques en informatique. Dick Lipton avait un article de blog exactement dans ce sens: il écrit sur les conséquences de la conjecture selon laquelle l'affacturage a une grande complexité de circuit. Les conséquences sont que certaines équations diophantiennes n'ont pas de solutions, une sorte de déclaration qui peut très difficilement être prouvée inconditionnellement. Le message est basé sur le travail avec Dan Boneh, mais je ne trouve pas de papier.

EDIT: Comme Josh Grochow le note dans les commentaires, sa question sur les applications du TCS aux mathématiques classiques est étroitement liée. Ma question est, d'une part, plus permissive, car je n'insiste pas sur la restriction "mathématique classique". Je pense que la différence la plus importante est que j'insiste sur une implication prouvée d'une conjecture de complexité à une déclaration dans un domaine mathématique en dehors du TCS. La plupart des réponses à la question de Josh ne sont pas de ce type, mais donnent plutôt des techniques et des concepts utiles en mathématiques classiques qui ont été développés ou inspirés par TCS. Néanmoins, au moins une réponse à la question de Josh est une réponse parfaite à ma question: l'article de Michael Freedmanqui est motivé par une question identique à la mienne, et démontre un théorème dans la théorie des nœuds, sous condition de $\mathsf{P}^{\#P} \ne \mathsf{NP}$ . Il soutient que le théorème semble hors de portée des techniques actuelles de la théorie des nœuds. Selon le théorème de Toda, si $\mathsf{P}^{\#P} = \mathsf{NP}$ alors la hiérarchie polynomiale s'effondre, donc l'hypothèse est tout à fait plausible. Je suis intéressé par d'autres résultats similaires.

Voici un autre exemple de la théorie des graphes. Le théorème des graphes mineurs nous dit que, pour chaque classe de graphes non orientés fermée par des mineurs, il existe un ensemble d'obstruction finie O b s ( G ) tel qu'un graphe est en G si et seulement s'il ne contient pas de graphe dans O b s ( G ) en tant que mineur. Cependant, le théorème mineur graphique est intrinsèquement nonconstructive et ne nous dit rien sur la taille de ces ensembles d'obstruction sont, par exemple, combien de graphiques qu'il contient pour un choix particulier de G .$\mathcal{G}$$\mathcal{Obs(G)}$$\mathcal{G}$$\mathcal{Obs(G)}$$\mathcal{G}$

Dans Trop d'obstacles d'ordre mineur , Michael J. Dinneen a montré que sous une conjecture théoriquement complexe et plausible, les tailles de plusieurs de ces ensembles d'obstruction peuvent être importantes. Par exemple, considérons la classe paramétrée des graphiques de genre au plus k . À mesure que k augmente, on peut s'attendre à ce que les ensembles d'obstruction O b s ( G k ) deviennent de plus en plus compliqués, mais dans quelle mesure? Dinneen a montré que si la hiérarchie polynomiale ne s'effondre pas à son troisième niveau, alors il n'y a pas de polynôme p tel que le nombre d'obstructions dans O b s$\mathcal{G}_k$$k$$k$$\mathcal{Obs}(\mathcal{G}_k)$$p$est délimité parp(k). Étant donné que le nombre d'obstructions mineures pour avoir le genre zéro (c'est-à-dire être planaire) n'est que de deux ( O b s ( G 0 )={ K 5 , K 3 , 3 }), cette croissance superpolynomiale n'est pas immédiatement évidente (bien que je le crois peut être prouvé sans condition). La bonne chose à propos du résultat de Dinneen est qu'il s'applique aux tailles des ensembles d'obstruction correspondant àtoutensemble paramétré d'idéaux mineurs G k pour lesquels décider du plus petit$\mathcal{Obs}(\mathcal{G}_k)$$p(k)$$\mathcal{Obs}(\mathcal{G}_0) = \{K_5, K_{3,3}\}$$\mathcal{G}_k$$k$pour laquelle est NP-dur; dans tous ces idéaux mineurs paramétrés, les tailles de l'ensemble d'obstruction doivent croître de façon superpolynomiale. $G \in \mathcal{G}_k$

Voici un exemple: la complexité informatique et l'asymétrie d'information dans les produits financiers par Arora, Barak et Ge montrent qu'il peut être difficile à calculer (c'est-à-dire NP-dur) de calculer correctement les dérivés - ils utilisent le sous-graphique le plus dense comme problème dur intégré.

Dans le même esprit et bien plus tôt, le célèbre article de Bartholdi, Tovey et Trick sur la dureté de la manipulation d'une élection.

Comme suggéré par Sasho, ma réponse à la question " Applications du TCS aux mathématiques classiques? " Suit:

$L$$\tau$

$L$

$\tau$$p$$\tau$$(1+\tau)^c$$c$

$S_{2^k}$$S_{2^k}$$2^{\delta k}$

C'est tout à fait dans l'esprit de l'article de Mike Freedman mentionné plus haut.

il semble que de nombreuses questions de séparation des classes de complexité TCS ont des implications majeures en mathématiques. la question P =? NP en particulier semble avoir des connexions très profondes dans de nombreux domaines et cela inclut les mathématiques. quelques cas notables dans ce domaine:

• Il a été démontré que le problème de Hilberts Nullstellensatz formulé au début du 20e siècle avait une tractabilité étroitement liée à la complexité P vs NP, par exemple dans ON THE INTRACTABILITY OF HILBERT'S NULLSTELLENSATZ AND AN ALGEBRAIC VERSION OF "NP ̸ = P?" By Shub / Smale. il s'agit d'un domaine d'étude continu, par exemple en algèbre informatique, combinatoire et complexité: Nullstellensatz de Hilbert et NP-complete Problems by Margulies.

• Théorème de Fagins (wikipedia):

  Le théorème de Fagin est le résultat d'une théorie de la complexité descriptive qui stipule que l'ensemble de toutes les propriétés exprimables dans la logique existentielle du second ordre est précisément la classe de complexité NP. C'est remarquable car c'est une caractérisation de la classe NP qui n'invoque pas un modèle de calcul tel qu'une machine de Turing.

  l'implication majeure / surprenante de P = NP ici signifierait que toutes les assertions logiques du second ordre pourraient être efficacement calculées.

• un autre cas est qu'il existe divers problèmes de NP complets énoncés principalement uniquement en termes mathématiques (par exemple, aucune référence aux concepts TCS comme les MT, le non-déterminisme, etc.). cette liste pourrait être très longue si la théorie des graphes est (assez raisonnablement) considérée comme mathématique. cependant, même des interprétations étroites de «mathématiques» conduisent à des cas, par exemple dans la théorie des nombres.

  $a,b,c$$x\le c$$x^2\equiv a\pmod b$

  • Y a-t-il un problème naturel sur les produits naturels qui est NP-complet? tcs.se
  • théorie des nombres et NP flux mathématique complet