Y a-t-il un problème naturel sur les produits naturels qui est NP-complet?


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Tout nombre naturel peut être considéré comme une séquence de bits, donc la saisie d'un nombre naturel est la même que la saisie d'une séquence 0-1, donc des problèmes NP-complets avec des entrées naturelles existent évidemment. Mais y a-t-il des problèmes naturels, c'est-à-dire ceux qui n'utilisent pas d'encodage et d'interprétation spéciale des chiffres? Par exemple, "Est-ce que na prime?" est un problème si naturel, mais celui-ci est en P. Ou "Qui gagne le jeu Nim avec des tas de taille 3, 5, n, n?" est un autre problème que je considère naturel, mais nous savons aussi que c'est dans P. Je suis également intéressé par d'autres classes de complexité au lieu de NP.

Mise à jour: Comme l'a souligné Emil Jeřábek, étant donné pour déterminer si a une solution par rapport aux naturels est NP-complet. C'est exactement ce que j'avais en tête comme naturel, sauf qu'ici l'entrée est de trois nombres au lieu d'un seul.a x 2 + b y - c = 0a,b,cN,ax2+byc=0

Mise à jour 2: Et après plus de quatre ans d'attente, Dan Brumleve a donné une "meilleure" solution - notez qu'elle n'est toujours pas complète en raison de la réduction aléatoire.


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Je connais un problème de mosaïque NEXP-complet où l'entrée est un entier n et le problème est de déterminer s'il existe une mosaïque valide d'une grille nxn. Si cela vous intéresse, je vais chercher le papier.
Robin Kothari

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@Emil: le commentaire de domotorp était une réponse à une confusion que j'avais. Mais c'était un malentendu de ma part, j'ai donc supprimé le commentaire. Je pense que l'entrée doit être un seul nombre naturel, qui ne devrait rien encoder.
Robin Kothari

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@domotorp: Le problème NP-complet je veux dire est, compte tenu , déterminer si a une solution . Une autre variante est, étant donné , déterminer s'il y a tel que x ^ 2 \ equiv a \ pmod b . (Le résultat provient de dx.doi.org/10.1145/800113.803627 .) a x 2 + b y - c = 0 x , y N a , b , c x c x 2aa,b,cNax2+byc=0x,yNa,b,cxcx2a(modb)
Emil Jeřábek soutient Monica

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Pourquoi la réponse à cette question n'est-elle pas NON ? Chaque problème NP-hard a des instances qui "codent" un circuit booléen; sans doute, c'est ce que signifie être NP-dur!
Jeffε

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@domotorp: peut-être un autre bon candidat "naturel" est le problème de trouver les chaînes d'addition minimales d'un seul nombre donné : de On the Number of Minimal Addition Chains : "... Le problème de trouver une chaîne d'addition minimale pour un ensemble de nombres est NP-complet. Cela n'implique pas car il est parfois affirmé que trouver une chaîne d'addition minimale pour est NP-complet. Cependant, nous pouvons facilement déduire que le problème de trouver toutes les chaînes d'addition minimales pour un nombre est NP-complete ... "m n nnmnn
Marzio De Biasi

Réponses:


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Ce problème a une variation avec une seule entrée entière:

t -il un diviseur strictement entre ses deux plus grands facteurs premiers?n

L'idée est d'utiliser la même réduction aléatoire de la somme des sous-ensembles décrite dans la réponse du haut à la question liée, mais avec la plage cible codée comme les deux plus grands premiers au lieu d'être donnée séparément. La définition a un aspect naturel même si ce n'est qu'une fonction d'appariement déguisée.

Voici une autre variante du même problème, avec une réduction similaire du problème de partition:

est-il le produit de deux entiers qui diffèrent de moins de ?n 1nn14

Dans les deux réductions, nous «camouflons» un ensemble d'entiers en trouvant des nombres premiers proches et en prenant leur produit. S'il est possible de le faire en temps polynomial, alors ces problèmes sont NP-complets.

Je pense qu'il est éclairant de regarder ces exemples avec le théorème de Mahaney : si et que nous pouvons trouver des nombres premiers proches, alors ces ensembles ne sont pas rares. Il est satisfaisant d'obtenir une déclaration purement arithmétique de la théorie de la complexité (même si elle n'est que conjecturale et est probablement facilement prouvable d'une autre manière).PNP


que voulez-vous dire par «si P ≠ NP et que nous pouvons trouver des nombres premiers proches»?
T ....

1
@ao., voir la réponse de Peter Shor décrivant la réduction. Pour qu'il soit NP-complet, nous devons être en mesure de trouver un premier avec dans le temps . Je vais essayer de donner mon propre compte rendu de tout cela plus tard. | p - n | < n a O ( ( log n ) k )p|pn|<naO((logn)k)
Dan Brumleve

Quels ensembles ne sont pas denses?
T ....

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Sur la base de la discussion, je republierai ceci comme une réponse.

Comme l'ont démontré Manders et Adleman , le problème suivant est NP-complet: étant donné les nombres naturels , déterminez s'il existe un nombre naturel tel que .x c x 2aa,b,cxcx2a(modb)

Le problème peut être indiqué de manière équivalente comme suit: étant donné , déterminer si le quadratique a une solution .x 2 + b y - c = 0 x , y Nb,cNx2+byc=0x,yN

(Le document original énonce le problème avec , mais il n'est pas difficile de voir que l'on peut le réduire au cas )a = 1ax2+byca=1


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Voici un problème -complet avec un seul nombre naturel comme entrée.NEXP

Le problème concerne le carrelage d'une grille avec un ensemble fixe de tuiles et des contraintes sur les tuiles adjacentes et les tuiles sur la frontière. Tout cela fait partie de la spécification du problème; il ne fait pas partie de l'entrée. L'entrée n'est que le nombre . Le problème est -complet pour un certain choix de règles de tuilage comme indiqué dansn×nNEXPnNEXP

D. Gottesman, S. Irani, «La complexité quantique et classique des problèmes de pavage translationnellement invariants et des problèmes hamiltoniens», Proc. 50e Symp annuel. on Foundations of Computer Science, 95-104 (2009), DOI: 10.1109 / FOCS.2009.22 . Aussi arXiv: 0905.2419 .

Le problème est défini à la page 5 de la version arxiv.

De plus, ils définissent également un problème similaire qui est -complete, qui est l'analogue quantique d'erreur bornée de . (L'analogue d'erreur borné classique de est .) NEXP NEXP MA EXPQMAEXPNEXPNEXPMAEXP


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+1, mais il est un peu difficile de prétendre que le nombre est utilisé de manière "naturelle", car il code l'entrée d'une machine de Turing particulière (en particulier, le pavage existe si la machine de Turing accepte , où est le - ième dans une énumération des chaînes d'entrée possibles). Encore un résultat très intéressant. x x nnxxn
mjqxxxx

Je suis au maximum d'accord avec mjqxxxx.
domotorp

2

Je pense qu'en utilisant l'une des variantes limitées dans le temps de la complexité de Kolmogorov, vous pouvez créer un problème qui utilise uniquement la représentation binaire d'un nombre et (je pense) ne sera probablement pas dans ; informellement, il s'agit d'une version décidable du problème "Est-ce que est compressible?": nPn

Problème: Étant donné , existe- t-il une machine de Turing telle que et sur une bande vierge sort en moins de étapes, où est la longueur de la représentation binaire deM | M | < l M n l 2 l = log nnnM|M|<lMnl2l=lognn

Il est clairement dans , car étant donné et , simulez simplement pour étapes et s'il s'arrête, comparez le résultat avec . n M M l 2 nNPnMMl2n


Je pense que ce problème est plutôt basé sur la MT, mais bien sûr, il est impossible de tracer une ligne.
domotorp

Pour affiner le commentaire de domotorp, je dirais que le fait qu'il doive invoquer la notion de machine de Turing dans la description du problème l'exclut comme un «problème naturel sur les nombres naturels». (Si nous supposons qu'un problème ntaural sur les nombres naturels est un problème dont le format général serait cohérent, par exemple avec Fermat l'ayant étudié, sans supposer une histoire des mathématiques trop contrefactuelle.)
Niel de Beaudrap

2

Notre article FOCS'17 sur l'arithmétique du short presburger est un exemple d'un problème "naturel" qui est NP-c, et utilise un nombre constant d'entiers dans l'entrée, disons . Il diffère de Manders-Adleman en ce que les contraintes sont toutes des inégalités. Voir le blog de Gil Kalai pour un aperçu. CC<220


Je pense que c'est plus naturel que Manders-Adleman. Est-ce que moins de variables et exemples d'inégalité sont possibles? 10510
T ....

Non, 5 variables est la plus petite. 10 - pas sûr. Mais vous ne pouvez pas vraiment en avoir moins de 6 ...
Igor Pak

Y a-t-il une raison derrière et ? Je veux dire il prouvé que tous et nombre fini d'inégalités est en ( de même que toute des variables et inégalités formulation est en ?)? 6 4 P 5 5 P564P55P
T ....

Oui. Pour moins de variables, le problème est en P.
Igor Pak

2
Oui. Tout est dans notre article et dans la thèse de Danny Nguyen. math.ucla.edu/~pak/papers/Nguyen-thesis.pdf
Igor Pak

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Que diriez-vous du problème de PARTITION ?


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Non, car l'entrée n'est pas un nombre mais un ensemble.
domotorp

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Alors, demandez-vous des problèmes pour lesquels une instance est exactement un nombre naturel? Je ne pense pas que ce soit clair dans votre question, car vous demandez des "problèmes avec les intrants naturels" et votre exemple du jeu Nim comporte quatre chiffres.
Kevin A. Wortman

Je suis désolé d'avoir été vague dans la formulation de la question.
domotorp
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