Complexité de la convolution dans l'anneau max / plus

Nous pouvons faire la convolution en pour les polynômes plus / multiplier avec FFT. Cependant, l'approche ne semble pas très généralisable aux anneaux en général. Y a-t-il eu des progrès par rapport à la convolution naïve pour l'anneau max / plus?$O(n\log n)$$O(n^2)$

Je dois noter que l'on peut transformer soft-max / plus en plus / produit en faisant une exponentiation. Ici .$\text{soft-max}(x,y)=\log(e^x+e^y) = \max(x,y) + \log(1+e^{\min(x,y)-\max(x,y)})$

Il y a une question plus générale sur mathoverflow .

J'ai posé une question similaire sur CS.SE . jbapple a fourni une bonne réponse. Citer

"Colliers, circonvolutions et X + Y", par Bremner et al. montre un algorithme pour ce problème sur la RAM réelle et un algorithme dans le modèle d'arbre de décision linéaire non uniforme.$O\left(\frac{n^2(\lg \lg n)^3}{\lg^2 n}\right)$$O(n \sqrt{n})$

Toute amélioration de cette limite mettra en lumière quelques problèmes ouverts difficiles comme le tri et le chemin le plus court de toutes les paires.$X+Y$

Si l'une des fonctions est convexe / concave, nous pouvons résoudre le problème en temps . Voir «Accélérer la programmation dynamique», par Eppstein et al. .$O(n\log n)$