Complexité du calcul d'un mineur le plus dense

Considérez le problème suivant.
Entrée: Un graphique non orienté . Sortie: Un graphique H qui est un mineur de G avec la densité de bord la plus élevée parmi tous les mineurs de G , c'est-à-dire avec le rapport le plus élevé | E ( H ) | / | V ( H ) | .$G=(V,E)$
$H$$G$$G$$|E(H)|/|V(H)|$

Ce problème a-t-il été étudié? Est-il résoluble en temps polynomial ou est-il dur NP? Et si nous considérons les classes de graphes restreintes comme les classes avec des mineurs exclus?

Si nous demandons plutôt le sous-graphe le plus dense, le problème est résoluble en temps polynomial . Si nous ajoutons un paramètre supplémentaire et demandons le sous-graphe le plus dense avec k sommets, le problème est NP-complet (c'est une réduction facile de k -clique).$k$$k$$k$

Ok, comme il n'y a toujours rien ici de réponse, permettez-moi au moins de faire quelques observations simples:

Pour les graphiques de largeur d'arbre bornée, il devrait être possible de trouver un mineur le plus dense (ou même un mineur avec un nombre spécifié d'arêtes et de sommets) par le type habituel de programme dynamique sur la décomposition de l'arbre, où chaque état du programme dynamique garde une trace de la nombre d'arêtes et de sommets dans la partie du mineur vivant dans un sous-arbre de la décomposition, le sous-ensemble de sommets dans le sac de la décomposition qui participent au mineur, les équivalences entre les sommets dans ce sous-ensemble causées par les contractions mineures dans l'ensemble graphique, et un raffinement de cette relation d'équivalence causée par les contractions de la partie du mineur vivant dans le sous-arbre.

$\le 3-\epsilon$

$G$$k\in \mathbb{N}$$G$$k$$d$$d/2$

$k$$k$$O(n^3)$