Peut-on calculer

Je cherche un algorithme efficace pour le problème:

Entrée : l'entier positif (stocké sous forme de bits) pour un entier . $3^n$ $n \geq 0$

Sortie : Le nombre . $n$

Question : Peut-on calculer partir des bits de en temps ? $n$ $3^n$ $O(n)$

Il s'agit d'une question théorique motivée par ma réponse à une question math.SE Comment trouver une formule pour cette bijection? . Dans cette question, l'auteur a voulu trouver une bijection à partir de et les nombres naturels . J'ai proposé comme solution. Une autre réponse y affirmait "il n'y a pas de formule simple", ce qui me fait me demander à quel point (sur le plan du calcul) la solution proposée est simple.

{2^{n} 3^{m} : n \geq 0 et m \geq 0}

$\{2^n 3^m: n \geq 0 \text{ and } m \geq 0\}$

N = {1, 2, \dots}

$\mathbb{N}=\{1,2,\ldots\}$

2^{m} 3^{n} \mapsto 2^{m} (2 n + 1)

$2^m 3^n \mapsto 2^m(2n+1)$

Avec ma solution proposée, si nous connaissons et , nous pouvons facilement calculer (écrire les chiffres binaires de suivi de suivi de zéros). Cela prend du temps . $n$ $m$ $2^m(2n+1)$ $n$ $1$ $m$ $O(n+m)$

Trouver partir des bits de revient à trouver le bit le moins significatif (qui peut être calculé en comptant les décalages de bits à droite, en laissant en mémoire). Cela prend du temps . $m$ $2^m 3^n$ $3^n$ $O(m)$

Cependant, nous devons également trouver , ce qui pourrait être plus difficile. Il serait possible de trouver en divisant à plusieurs reprises par , mais cela semble inutile. Cela nécessite opérations de division, chacune prenant du temps , c'est donc un temps au total. [En fait, après chaque itération, le nombre de chiffres diminuera linéairement, mais cela se traduira toujours par un temps .] $n$ $n$ $3$ $n$ $O(n)$ $O(n^2)$ $O(n^2)$

Il semble que nous devrions être en mesure d'exploiter sachant que l'entrée est une puissance de . $3$

ds.algorithms time-complexity

— Rebecca J. Stones
source

Quel est votre modèle exact de calculs? Quelles opérations sont autorisées en temps

? (Si nous pouvions faire de l'arithmétique avec des nombres tels que

ce serait très utile ...)

O (1)

$O(1)$

\log_{2} 3

$\log_2 3$

— Yuval Filmus

Le downvoter peut-il expliquer le downvote? Cela ne semble pas du tout être une question banale. Quel est le meilleur temps de fonctionnement sous un modèle de calcul raisonnable?

— Yuval Filmus

J'imagine des bandes avec des 0, des 1 et des cellules vides (avec un nombre infini de bandes). Je souhaite que les opérations de basculement d'un bit et de décalage gauche / droite s'exécutent en temps

. (Si nous avons un marqueur le 0-ème bit sur une bande infinie, alors le décalage gauche / droite est obtenu en décalant le marqueur). Contrairement à une machine Turing, je ne veux pas que cela prenne du temps pour déplacer un pointeur. Ainsi, "basculer le 0-ème bit" prend le même temps que "basculer le 124126-ème bit".

O (1)

$O(1)$

— Rebecca

Cela pourrait être en quelque sorte lié à cette question

— J.-E.

La borne inférieure de

évidente?

Ω (n)

$\Omega(n)$

— Boris Bukh

Réponses:

L'approche évidente est:

(1) Calculez une approximation pour . Vous pouvez approcher à l' intérieur d' une erreur de l' additif 1 en comptant le nombre de bits dans la représentation binaire donnée, et à l' intérieur d' une erreur d'additif en regardant en outre au sommet $\log_2(3^n)$ $\epsilon$ bits de l'entrée. Il suffirait de choisir une valeur constante de,sorte que (après combinaison avec l'erreur dansétape (2)) Le résultat final extrémités au seinune erreur additifde correct. $O(\log\frac{1}{\epsilon})$ $\epsilon$ $1/2$

(2) Calculez une approximation pour . Je ne connais pas les algorithmes pour cela, mais je m'attends à ce qu'ils prennent un polynôme temporel dans le nombre de bits de précision dont vous avez besoin, et vous n'avez besoin que de bits de précision. $\log_2(3)$ $O(\log n)$

(3) Divisez la réponse à (1) par la réponse à (2) et arrondissez à l'entier le plus proche.

Ainsi, la première étape prend du temps linéaire (dans la plupart des modèles de calcul, mais peut-être pas pour certains sous-alimentés comme les machines de Turing à tête unique ) et les étapes restantes doivent être polylogarithmiques.

— David Eppstein
source

Je crois que le calcul de

bits de précision prend du temps

, où

est le temps de multiplier

-bit Nombres. Voir Brent - Zimmermann, loria.fr/~zimmerma/mca/pub226.html

\log_{2} (3)

$\log_2(3)$

t

$t$

O (M (t) \log t)

$O(M(t) \log t)$

M (t) \leq O (t \log t 2^{\log^{*} t})

$M(t) \leq O(t \log t 2^{\log^* t})$

t

$t$

— Ryan O'Donnell

Merci pour la référence, et excuses d'être trop paresseux pour le rechercher moi-même.

— David Eppstein

Pour tout entier , l'écriture de en binaire nécessite exactement bits. Une algèbre élémentaire implique que $n>0$ $3^n$ $L = \lceil \log_2(3^n)+1\rceil$ Pour toute longueur de bit, il y a au plus un entier dans cette plage. Ainsi, étant donné une puissance entière dequi estbitslong, l'exposant doit être le nombre entier

\frac{L - 2}{{Journal}_{2} 3} \leq n \leq \frac{L - 1}{{Journal}_{2} 3} .

$\frac{L-2}{\log_2 3} \le n \le \frac{L-1}{\log_2 3}.$

L \geq 1

$L\ge 1$

3

$3$

L

$L$

n = ⌊ \frac{L - 1}{{Journal}_{2} 3} ⌋ .

$n = \left\lfloor\frac{L-1}{\log_2 3}\right\rfloor.$

— Jeffε
source

$k$ $3^n$ $3^n \bmod 10^k$ $3^n \bmod 5^k$ $3$ $5^k$ $3$ $\varphi(5^k)=5^{k-1} \times 4$

$n \bmod \varphi(5^k)$ $k$ $3^n$ $n \bmod 4$ $3^n$ $3^n \bmod 5$ $3$ $5$ $n \bmod 4$ $O(1)$ $3^n \bmod 25$ $e$ $25$ $n \bmod 20$ $O(1)$ $n \bmod 4$ $5$ $n \bmod \varphi(5^{k-1})$ $3^n \bmod 5^k$ $5$ $n \bmod \varphi(5^k)$

$k$ $n$

$O(n)$ $k=O(n)$ $O(1)$ $O(n)$

— DW
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