Quel est le problème ouvert le plus ancien dans TCS?

Ce problème s’inspire de cette question du MO , que j’ai trouvée très intéressante.

Quel est le problème ouvert le plus ancien dans TCS?

Il est clair que cette question nécessite des éclaircissements.

Tout d'abord, qu'est-ce que le TCS? Je pense que l'existence de nombres impairs parfaits n'est pas le TCS. Je dirais que le dixième problème de Hilbert est le SDC. Je pense que les problèmes tels que "Pouvons-nous construire X avec une règle et une boussole" sont aussi des problèmes de TCS, car ils demandent un algorithme dans un modèle de calcul restreint. Il n’ya peut-être pas de manière rigoureuse de définir ce qu’est un problème de TCS, mais utilisez votre jugement. L’un des tests est peut-être "Si cela est résolu, est-ce que cela apparaîtra probablement dans STOC / FOCS? Le chercheur qui l’aura résolu sera-t-il probablement un informaticien théorique?"

Deuxièmement, quelle est "la plus ancienne"? Je veux dire le plus vieux par date. La date indiquée devrait également être vérifiable, mais je ne pense pas que cela devrait être trop difficile.

Troisièmement, qu'est-ce qu'un "problème ouvert"? Par «problème ouvert», j'entends un problème qui a été spécifiquement considéré ouvert à un moment donné. Peut-être cela est-il apparu à la fin d'un article dans la section des problèmes en suspens, ou peut-être existe-t-il des preuves que certaines personnes ont travaillé dessus et ont échoué, ou peut-être existe-t-il des preuves incorrectes dans la littérature qui suggèrent que cela a été étudié? Un exemple de quelque chose qui ne correspond pas à ce critère: "Les Grecs ont étudié les objets X et Y. Z est clairement un objet intermédiaire, ils se sont sûrement demandé s'il pouvait être construit." S'il n'y a pas de littérature sur Z de cette période, alors ce n'est pas un problème ouvert de cette période.

Quatrièmement, qu'est-ce que je veux dire par "problème"? Je veux dire une question spécifique "oui / non", et non quelque chose comme "Caractériser tous les objets X avec la propriété Y", car ces questions n'ont souvent pas de réponse satisfaisante. Très souvent, il y aura désaccord sur le fait de savoir si la question a été résolue. N'entrons pas dans de telles questions ici. Si ce n'est pas une question oui / non, mais il est clair que c'est vraiment ouvert, c'est bien aussi. (Dans le cas où cela ne serait pas clair, par "problème", je parlerais d'un problème formel. Ne convertissez pas une légende populaire du jeu au 16ème siècle en une question sur BPP et PSPACE.)

Enfin, comme il ne s’agit pas d’une grande question, n’envoyez une réponse que si vous pensez qu’elle est plus ancienne que les réponses déjà postées (ou si vous pensez que les réponses affichées ne répondent pas à une autre condition - comme si elles ne sont pas du SDC, ou ils ne sont pas ouverts). Ce n'est pas une collection aveugle de vieux problèmes ouverts.

Quelle est la complexité de calcul de la multiplication d’entiers? On peut soutenir que cette question remonte au moins à l'algorithme de «duplication et médiation» pour la multiplication entière décrit dans le Papyrus mathématique Rhind, écrit vers 1650 av . J.-C. , mais prétend être une copie d'un document considérablement plus ancien.

Certes, le papyrus Rhind n'a pas explicitement pris en compte la complexité de son algorithme. Alors, peut-être une meilleure réponse est Quelle est la complexité de la résolution de systèmes d’équations linéaires? La recherche sur des algorithmes efficaces de résolution de systèmes linéaires remonte au moins au commentaire de Liu Hui, publié dans 263 après JC , sur Les neuf chapitres sur l'art mathématique . Plus précisément, Liu Hui compare deux variantes de ce qui est maintenant reconnu comme élimination gaussienne et compte le nombre d'opérations arithmétiques utilisées par chacune d'elles, dans le but explicite de trouver la méthode la plus efficace.

Ces deux questions restent des cibles de recherche active.

La recherche d'un algorithme de factorisation efficace semble remonter au moins à Gauss. L'article 329 de Disquitiones Arithmeticae de Gauss (1801) se lit comme suit ( source ):

The problem of distinguishing prime numbers from composite numbers and of resolving the latter into their prime factors is known to be one of the most important and useful in arithmetic. It has engaged the industry and wisdom of ancient and modern geometers to such an extent that it would be superfluous to discuss the problem at length. ... Further, the dignity of the science itself seems to require that every possible means be explored for the solution of a problem so elegant and so celebrated.

Bien sûr, il est vrai que Gauss n’a pas formellement défini ce qu’il souhaitait dans l’algorithme de factorisation. Il a cependant parlé dans le même article du fait que tous les algorithmes de test de primalité connus à cette époque étaient très "laborieux et prolixes".

Ce qui suit, cité de

• Goldwasser, S. et Micali, S. 1982. Cryptage probabiliste et comment jouer au poker mental en gardant secrète toutes les informations partielles. Dans Actes du quatorzième symposium annuel de l'ACM sur la théorie de l'informatique (San Francisco, Californie, États-Unis, du 5 au 7 mai 1982). STOC '82. ACM, New York, NY, 365-377. DOI = http://doi.acm.org/10.1145/800070.802212

Fait référence à un autre problème remontant à Disquitiones Arithmeticae de Gauss (1801):

Si la factorisation de N n'est pas connue et , où($(\frac{q}{N})=1$désigne le symbole de Jacobi, alors il n'existe aucune procédure connue pour décider si q est un résidu quadratique modN. Ce problème de décision est bien connu pour être difficile en théorie des nombres. C'est l'un desquatreprincipauxproblèmes algorithmiquesévoqués par Gauss dans "Disquisitiones Arithmeticae" (1801). Une solution polynomiale impliquerait une solution polynomiale à d'autres problèmes ouverts de la théorie des nombres, tels que décider si un composite N, dont la factorisation n'est pas connue, est le produit de 2 ou 3 nombres premiers; voir les problèmes en suspens 9 et 15 dansAdleman.$(\frac{q}{N})$

PS: Nous connaissons maintenant deux des quatre problèmes algorithmiques :

1. Affacturage (comme mentionné par Arnab);
2. Décider la résidence quadratique.

Quels sont les deux problèmes restants décrits par Gauss?

Dans la littérature de notre pays, il y a un dicton que je traduis littéralement par "L'énigme devient facile quand elle est résolue". Bien que ce ne soit pas une bonne traduction, il fait référence au fait que lorsque vous avez la solution, vous pouvez facilement la vérifier. mais avant cela, l'énigme semble très difficile.

Cela fait référence au désormais célèbre problème "FP vs. FNP": Si FNP = FP, vérifier la réponse à l'énigme est aussi simple que le trouver. Pourtant, si FNP ≠ FP, il existe alors des "énigmes" pour lesquelles trouver une solution est beaucoup plus difficile que de la vérifier.

Je crois que ce problème est le plus ancien problème ouvert du SDC, mais sa formulation rigoureuse remonte à il y a à peu près 30 ans!

There seems to be a similar (yet somehow different!) proverb in the English language: "It's easy to be wise after the event" or "It's easy to be smart after the fact."

MODIFIER: "Pouvons-nous factoriser les nombres en plusieurs temps" est un autre problème ouvert du TCS, mais je pense qu’il est plus jeune que le problème mentionné ci-dessus.

Voici deux listes de problèmes ouverts du TCS sur le Web:

• http://www.c2.com/cgi/wiki?OpenProblemsInComputerScience
• http://garden.irmacs.sfu.ca/?q=category/theoretical_computer_science

Nous avons également une telle liste ici sur CSTheory.

Je m'interroge sur le fait que vous excluez la théorie des nombres et que vous vous demandiez si certains ensembles théoriques numériques sont finis ou infinis dans le cadre du SDC, et soutiendrions certainement le contraire. les Grecs ont demandé si:

• Existe-t-il des nombres impairs parfaits? [éventuellement considéré par euclide]

• Existe-t-il un nombre infini de nombres premiers jumeaux?

$TM_x$$TM_y$ qui utilise une grande limite supérieure à la recherche d'un premier double trouvé après une paire premier double avant. ça s'arrête?

ainsi, on peut soutenir que ce sont deux anciens problèmes algorithmiques et que les Grecs ont été les pionniers du premier TCS principalement sous la forme de théorie des nombres et que les premiers problèmes de théorie des nombres ne sont que des cas particuliers du problème de Turings, et une preuve circonstancielle précoce de sa difficulté. et il existe une relation étroite entre poser des questions sur / trouver / rechercher des preuves et la théorie de l’indécidabilité.

sans doute de nouvelles recherches montrent que la conjecture de collatz, autrefois considérée comme une curiosité de la théorie des nombres, a des liens profonds avec la théorie de la calculabilité, et peut se situer à la limite problèmes indécidables et décidables. L'exemple que vous citez à propos du dixième problème de hilberts montre également un lien fondamental entre la théorie des nombres et le TCS.

deux autres anciennes questions algorithmiques:

• Qu'est-ce qu'un algorithme efficace ou le plus efficace pour calculer gcd, le plus grand commun diviseur?

• Qu'est-ce qu'un algorithme efficace ou le plus efficace pour calculer les nombres premiers?

convenue que la deuxième question est assez étroitement liée à l'affacturage, mais ce n'est pas tout à fait le même. il a été examiné par le tamis et euclide d'eratosthenes. Bien sûr, il a été récemment démontré que AKS était en P, mais même dans ce cas, l'algorithme n'est pas totalement optimal.

des recherches très modernes menées par le TCS sur l'algorithme euclids gcd (c'est-à-dire le 20e siècle) ont montré que les nombres de fibonacci lui donnent les performances les plus défavorables. [pas sûr qui 1er a montré cela]

Jusqu'à ce que l'algorithme euclids soit jugé optimal, le calcul efficace de gcd est encore ouvert.

Je ne sais pas à quel point cette réponse est sérieuse, mais ...

Cela dépend vraiment de l'ampleur de votre volonté de définir votre question.

Sûrement "peut-on construire une machine intelligente?" C’est la question ouverte la plus ancienne dans CS qui ait démarré l’informatique, mais elle est probablement vieille d’un millinium ou deux par rapport à CS. Non? (C'est une question théorique, car il demande une réponse - pas pour la machine elle-même ...)

Une référence naturelle à la recherche d'une machine intelligente serait le Golem ... http://en.wikipedia.org/wiki/Golem#History

Je peux répondre à votre question avec une certitude à 100% pour une période donnée. Si nous considérons la période du papier séminal de Hartmanis et Stearns à un moment donné dans l’avenir, le problème le plus ancien de TCS encore en suspens est le suivant:

Quel est le temps système minimum nécessaire pour la simulation de MT déterministes?

$T^{2}(n)$$T(n)$$\log T(n)$ , ce qui constitue la meilleure réponse actuelle au meilleur résultat. de ma connaissance.

$\log T(n)$