A propos des graphiques planaires généralisés et des graphiques planaires externes généralisés

Tout graphique planaire , respectivement, externe satisfait | E ′ | ≤ 3 | V ′ | - 6 , respectivement, | E ′ | ≤ 2 | V ′ | - 3 , pour chaque sous-graphe G ′ = ( V ′ , E ′ ) de $G=(V,E)$$|E'|\le 3|V'|-6$
$|E'|\le 2|V'|-3$$G'=(V',E')$$G$ .
De plus, les graphes planaires (externes) peuvent être reconnus en temps polynomial.

Que sait-on des graphes tels que | E ′ | ≤ 3 | V ′ | - 6 (resp. | E ′ | ≤ 2 | V ′ | - 3 ) pour chaque sous-graphe G ′ = ( V ′ , E ′ ) de G ? Est-il possible de les reconnaître en temps polynomial?$G=(V,E)$$|E'|\le 3|V'|-6$$|E'|\le 2|V'|-3$$G'=(V',E')$$G$

Edit (après la belle réponse d'Eppstein): Tout graphique plan satisfait | E ′ | ≤ 3 | V ′ | - 6 pour chaque sous-graphe G ′ = ( V ′ , E ′ ) de G avec au moins trois sommets | V ′ | ≥ $G=(V,E)$$|E'|\le 3|V'|-6$$G'=(V',E')$$G$ $|V'|\ge 3$. Ainsi, les "graphes planaires généralisés" seraient ceux satisfaisant cette propriété, et les reconnaître en temps polynomial semble être une question ouverte (intéressante).

Dans la notation de Lee et Streinu (citation ci-dessous), la deuxième classe que vous listez sont les graphes (2,3) -sparse. Ils donnent un algorithme pour tester si un graphe est (k, l) -pars en temps polynomial. Cependant, la situation avec les graphes planaires et est un peu plus compliqué, car cette inégalité n'est pas vraie pour tous les ensembles de sommets (si c'était vrai, aucun sommet ne pourrait être connecté par une arête, car 3 ⋅ 2 - 6 = $|E'|\le 3|V'|-6$$3\cdot 2-6=0$). Ainsi, la classe des graphes (3,6) -sparse (dans leur notation) se compose uniquement de graphes vides. Leurs algorithmes peuvent probablement être étendus à des graphiques pour lesquels l'inégalité est valable pour tous les ensembles de plus de deux sommets.

Lee, Audrey; Streinu, Ileana (2008), «Pebble game algorithms and sparse graphs», Discrete Mathematics 308 (8): 1425–1437, doi: 10.1016 / j.disc.2007.07.104 , arxiv: math / 0702129 .

Que sait-on des "graphes planaires externes généralisés" ou des graphes (2,3) -spars? Quelques faits supplémentaires à la réponse de DavidEppstein:

En 1982, dans cet article (Corollaires 1 et 2), Lovász et Yemini ont caractérisé les graphes planaires externes généralisés (dans leur notation, graphes indépendants génériques ) comme ces graphes ayant la propriété que doubler n'importe quel bord de G donne un graphe qui est le bord -union disjointe de deux forêts.$G$$G$

Tout à l'heure, en 1970, Henneberg et Laman ont prouvé que des graphes planaires externes généralisés peuvent être obtenus récursivement à partir de par trois mouvements dits de Henneberg (en ajoutant un sommet de degré 1, en ajoutant un sommet de degré 2 et un certain type d'ajout d'un sommet de degré 3).$K_2$

Ces caractérisations donnent les premières reconnaissances polynomiales pour les graphes planaires externes généralisés.

Quelques remarques concernant les graphiques planaires généralisés se trouvent dans la dernière section de cet article . Je pense que caractériser et reconnaître les graphes planaires généralisés restent des questions ouvertes très intéressantes.