Algorithmes à temps exponentiel exact pour la programmation 0-1

10

Existe-t-il des algorithmes connus pour le problème suivant qui ont battu l'algorithme naïf?

Entrée: Un système de inégalités linéaires. $Ax \le b$ $m$

Résultat: une solution réalisable s'il en existe une. $x^*\in \{0,1 \}^n$

Supposons que et ont des entrées entières. Je m'intéresse au pire des cas. $A$ $b$

np-hardness integer-programming exp-time-algorithms

— Austin Buchanan
source

14

Si est superlinéaire, un tel algorithme réfuterait l'hypothèse de temps exponentiel fort, car les formules sous forme normale conjonctive sont un cas particulier de programmation 0-1 et le lemme de sparsification nous permet de réduire -SAT en CNF-SAT sur de nombreuses clauses linéairement . $m$ $k$

Cependant, il existe un algorithme dû à Impagliazzo, Paturi et moi - même qui peut résoudre un tel système d'inégalités si le nombre de fils, c'est-à-dire le nombre de coefficients non nuls dans est linéaire. En particulier, si le nombre de fils est , l'algorithme s'exécute dans le temps , où $A$ $cn$ $2^{(1-s)n}$ . $s=\frac1{c^{O(c^2)}}$

— Stefan Schneider
source

1

Si est suffisamment petit, vous pouvez faire mieux que l'algorithme naïf, c'est-à-dire mieux que fois. Ici, «assez petit» signifie que est plus petit que quelque chose comme . Le temps d'exécution sera toujours exponentiel - par exemple, il pourrait être fois - mais il sera plus rapide que l'algorithme naïf. $m$ $2^n$ $m$ $n/\lg n$ $2^{n/2}$

Soit dit en passant, il semble que cela nous permette de résoudre le problème en un temps inférieur à dans certains cas où la matrice a un nombre d'entrées super-linéaire. Je ne sais pas comment concilier cela avec l'autre réponse fournie ici. Par conséquent, vous devriez vérifier attentivement ma réponse: cela pourrait indiquer que j'ai commis une grave erreur quelque part. $2^n$ $A$

L'approche de base: écrire , où contient les premiers composants de et contient les derniers composants; et de même , où a les colonnes gauche de et le droit $x=(x_0,x_1)$ $x_0$ $n/2$ $x$ $x_1$ $n/2$ $A=(A_0,A_1)$ $A_0$ $n/2$ $A$ $A_1$ colonnes. Maintenant, peut être réécrit sous la forme $n/2$ $Ax \le b$

A_{0} x_{0} + A_{1} x_{1} \leq b,

$A_0 x_0 + A_1 x_1 \le b,$

ou équivalent,

A_{0} x_{0} \leq b - A_{1} x_{1} .

$A_0 x_0 \le b - A_1 x_1.$

Énumérer toutes les possibilités pour et laisser désigner l'ensemble des valeurs possibles, c'est-à-dire $2^{n/2}$ $A_0 x_0$ $S$

S = {A_{0} x_{0} : x_{0} \in {0, 1}^{n / 2}} .

$S=\{A_0 x_0 : x_0 \in \{0,1\}^{n/2}\}.$

$T$ $2^{n/2}$ $b - A_1 x_1$

T = {b - A_{1} x_{1} : x_{1} \in {0, 1}^{n / 2}} .

$T = \{b - A_1 x_1 : x_1 \in \{0,1\}^{n/2}\}.$

Maintenant, le problème devient

$S,T \subseteq \mathbb{Z}^{m}$ $2^{n/2}$ $s\in S$ $t \in T$ $s\le t$

$\le$ $s_i \le t_i$ $i$

$O(2^{n/2} (n/2)^{m-1})$ $m$ $n/\lg n$ $2^n$

$m=1$ $m=1$ $x_i=1$ $A_{1,i}\le 0$ $x_i=0$ $x$

— DW
source

1

L'algorithme de ma réponse se réduit également au problème de vecteur décrit dans votre réponse en utilisant la même méthode, c'est-à-dire diviser les variables et lister toutes leurs affectations.

— Stefan Schneider

2

2^{O (m)}

$2^{O(m)}$