Nombre maximal de chemins st de longueur impaire disjoints en interne

Soit un graphe simple non orienté et soit s , t ∈ V ( G ) des sommets distincts. Soit la longueur d'un chemin simple st le nombre d'arêtes sur le chemin. Je suis intéressé par le calcul de la taille maximale d'un ensemble de chemins st simples de sorte que chaque chemin a une longueur impaire, et les ensembles de sommets de chaque paire de chemins se croisent par paires uniquement en s et t. En d'autres termes, je recherche le nombre maximum de chemins st de longueur impaire disjoints en interne. Je pense que cela devrait être calculable en temps polynomial par des techniques de correspondance ou basées sur le flux, mais je n'ai pas été en mesure de trouver un algorithme. Voici ce que je sais du problème.$G$$s,t \in V(G)$

1. Nous pouvons remplacer la restriction à la longueur impaire par la longueur paire; cela n'affecte pas vraiment le problème puisque l'un se transforme en l'autre si l'on subdivise tous les bords incidents sur s.

2. S'il n'y a pas de restriction sur la parité des chemins, le théorème de Menger donne la réponse, qui peut être obtenue en calculant un débit maximum.

3. Le problème de la détermination du nombre maximal de cycles de longueur impaire sommet-disjoint qui ne se coupent par paire qu’à un sommet donné v est calculable en temps polynomial par une astuce correspondante: construire un graphique G 'comme union disjointe de et ( G - N G [ v ] ) , en ajoutant des arêtes entre deux copies du même sommet; une correspondance maximale dans ce graphique de taille | V ( G ) | - | N G [ v ] | + k implique que le nombre maximum de cycles impairs à travers$(G - {v})$$(G - N_G[v])$$|V(G)| - |N_G[v]| + k$ est k ; cette construction est décrite dans la preuve du lemme 11 deOn the impair-minor variant of Hadwiger's conjecture.$v$$k$

4. Si le graphique est dirigé, le test de l'existence d'un seul chemin st de longueur paire est déjà NP-complet.

5. Le papier Le problème du chemin égal pour les graphiques et digraphes de Lapaugh et Papadimitriou pourrait être pertinent, mais malheureusement notre bibliothèque ne souscrit pas aux archives en ligne et nous n'avons pas de copie papier.

Toutes les idées seront très appréciées!

Notons tout d'abord que: étant donné un graphe , deux sommets distingués s , t ∈ V et un entier k , le problème de décider s'il y a k chemins internes de longueur impaire disjoints au sommet entre s et t est polynomialement équivaut à décider s'il existe k chemins de longueur paire entre s et t . La réduction est facile. Pour réduire d'un cas à l'autre, il suffit de subdiviser chaque arête adjacente à t . Soit G $G=(V,E)$$s,t \in V$$k$$k$$s$$t$$k$$s$$t$$t$$G'$être le graphique obtenu. Alors a k chemins de sommets disjoints de longueur impaire entre s et t si G ' a k chemins de sommets disjoints de longueur paire entre s et t .$G$$k$$s$$t$$G'$$k$$s$$t$

Par conséquent, si l'un de ces problèmes est NP-complet, l'autre l'est aussi. Maintenant Itai, Perl et Shiloach montrent que le problème de décider s'il existe chemins vertex-disjoints de longueur cinq entre s et t est NP-complet [ La complexité de trouver des chemins disjoints maximum avec des contraintes de longueur . Networks, Volume 12, Issue 3, pages 277-286, 1982.] La réduction est de 3SAT et dans le graphique construit, les chemins de longueur impaires entre s et t ont tous une longueur exactement de cinq. D'où le problème Vertex-Disjoint Odd Length Paths dans NP-complete, tout comme les chemins Vertex-Disjoint Pair Length.$k$$s$$t$$s$$t$

J'espère que cela t'aides.

(Ce n'est pas une réponse, mais je ne peux pas encore commenter) Je pense que la réponse ci-dessus ne fonctionne pas, car elle ne garantit pas que les chemins seraient des sommets disjoints. Un chemin pourrait utiliser u ', et l'autre u "en G'; en G ils utiliseraient le même sommet u.