Je m'intéresse à la complexité paramétrée de ce que j'appellerai le problème d'ensemble d-dimensionnel: donné un espace de plage (c'est-à-dire un ensemble système / hypergraphe) S = (X, R) ayant une dimension VC au plus d et a entier positif k, X contient-il un sous-ensemble de taille k qui touche toutes les plages de R? La version paramétrée du problème est paramétrée par k.
Pour quelles valeurs de d est le problème d-Dimensional Hitting Set
- en FPT?
- dans W [1]?
- W [1] -hard?
- W [2] -hard?
Ce que je sais peut être résumé comme suit:
1-Dimensional Hitting Set est en P et donc en FPT. Si S a la dimension 1, il n’est pas difficile de démontrer qu’il existe un ensemble de frappes de taille 2 ou que la matrice d’incidence de S est totalement équilibrée. Dans les deux cas, nous pouvons trouver un jeu minimum de frappes en temps polynomial.
L'ensemble de frappe à 4 dimensions est W [1] -hard. Dom, Fellows et Rosamond [PDF] ont prouvé la dureté W [1] du problème de la perforation de rectangles parallèles aux axes dans R ^ 2 avec des lignes parallèles aux axes. Ceci peut être formulé en tant que jeu de frappe dans un espace de plage de VC-dimension 4.
Si aucune restriction n'est placée sur d, alors nous avons le problème standard de jeu de frappe qui est W [2] -complete et NP-complete.
Langerman et Morin [citeseer link] fournissent des algorithmes FPT pour Set Cover en dimension restreinte, bien que leur modèle de dimensionnalité lié ne soit pas identique à celui défini par la dimension VC liée. Leur modèle ne semble pas inclure, par exemple, le problème de frapper des demi-espaces avec des points, bien que le problème du prototype de leur modèle équivaut à frapper des hyperplans avec des points.