Classes graphiques pour lesquelles le diamètre peut être calculé en temps linéaire

Rappelons le diamètre d'un graphe est la longueur d'un plus court chemin plus long . Étant donné un graphique, un algorithme évident pour calculer résout le problème du chemin le plus court toutes paires (APSP) et renvoie la longueur du chemin le plus long trouvé. $G$ $G$ $\text{diam}(G)$

Il est connu que le problème APSP peut être résolu en un temps optimal pour plusieurs classes de graphes. Pour les graphes généraux, il existe une approche théorique des graphes algébriques fonctionnant en temps , où est la limite de la multiplication matricielle. Cependant, le calcul du diamètre n'est apparemment pas lié de manière critique à l'APSP, comme le montre Yuster . $O(n^2)$ $O(M(n) \log n)$ $M(n)$

Existe-t-il des classes de graphes non triviales pour lesquelles le diamètre peut être calculé encore plus rapidement, par exemple en temps linéaire?

Je suis particulièrement intéressé par les graphes d'accords et toutes les sous-classes de graphes d'accords tels que les graphes de blocs. Par exemple, je pense que le diamètre d'un graphe d'accord peut être calculé en temps , si est uniquement représentable comme un arbre de clique. Un tel graphique est également appelé ur-chordal . $G$ $O(n+m)$ $G$

graph-theory graph-algorithms shortest-path

— Juho
source

Pour le calcul du diamètre, une fois l'arbre clique donné, les graphes en accords se comportent (presque) de la même manière que les arbres. De même, dans un graphique d'intervalle, une paire dominante (qui existe dans tous les graphiques sans AT) décide nécessairement du diamètre.

— Yixin Cao

@YixinCao Mais en général, le nombre d'arbres cliques distincts qu'un graphe d'accord peut avoir est exponentiel dans le nombre de sommets. De plus, je ne pense pas que le diamètre soit le même dans chaque clique. Je pense que c'est un problème, mais dans un graphique ur-corde le diamètre de l'arbre clique est sans ambiguïté. Aviez-vous autre chose en tête?

— Juho

Je ne dis pas que le diamètre du graphique en accords est le même que celui de son arbre clique. (Une étoile de

sommets peut avoir un arbre clique qui est un chemin de

nœuds.) Ce que je voulais dire, c'est que le diamètre du graphique doit être entre une paire de feuilles (tout sommet simplicial) dans l'arbre clique.

k + 1

$k+1$

k

$k$

— Yixin Cao

@YixinCao OK, maintenant je comprends mieux. Même ainsi, un algorithme (rapide) n'est toujours pas évident pour moi. Si vous avez des détails ou des références supplémentaires, n'hésitez pas!

— Juho

L'excentricité d'un sommet $v$ est la longueur d'un chemin le plus long le plus court à partir de $v$ . Le diamètre est l'excentricité maximale sur tous les sommets. Tout BFS d'un sommet établira son excentricité. Une idée clé pour une recherche efficace du diamètre est donc de prétraiter le graphique pour trouver un petit ensemble de sommets, dont au moins l'un atteint une excentricité maximale.

$\{\text{AT},\text{claw}\}$

$m = \Omega(n^2)$ $K_n$ $o(n^2)$ $O(m+n)$ $o(n^2)$

$(\text{rising sun}- K_2)$

_{(source: graphclasses.org )}

Feodor F. Dragan, Falk Nicolai et Andreas Brandstädt, Ordonnances LexBFS et pouvoirs des graphiques , WG 1996, LNCS 1197, 166-180. doi: 10.1007 / 3-540-62559-3_15

$\log n$

Derek G. Corneil, Lexicographic Breadth First Search - A Survey , WG 2004, LNCS 3353, 1–19. doi: 10.1007 / 978-3-540-30559-0_1

— András Salamon
source

O (n + m)

$O(n+m)$

o (n^{2})

$o(n^2)$

Les blocs graphiques mentionnés dans la question sont héréditaires à distance. Un algorithme de temps linéaire pour calculer le diamètre des graphes héréditaires de distance est donné dans [1] (voir Théorème 5).

[1] Dragan, Feodor F. Dominant les cliques dans les graphes héréditaires à distance. Springer Berlin Heidelberg, 1994.

— Juho
source