Historique et état du problème de correspondance des graphes

Une partie de la difficulté à en savoir plus sur ce problème est que le problème de correspondance des graphiques est différent de son cousin beaucoup plus célèbre, le problème de correspondance, mais difficile à en distinguer lors de l'utilisation des moteurs de recherche.

Étant donné deux graphiques et tels que, la tâche est de trouver une bijection telle que cette bijection établit autant de correspondances que possible entre les bords de et .$G=(V,E)$$G'=(V',E')$$|V| = |V'|$$\pi : V \rightarrow V'$$G$$G'$

En d'autres termes, si et sont les matrices d'adjacence, alors nous voulons maximiser$M$$M'$

$\sum_{v,w \in V} M_{v,w} \cdot M'_{\pi(v),\pi(w)}$

Ce problème contient clairement l'isomorphisme des graphes comme un cas spécial et peut être réduit à une correspondance bipartite sous une réduction (non polynomiale!).

Quels types d'algorithmes existent et que sait-on de sa complexité?

A partir du document approximatif Graphique Isomorphisme :

Nous étudions les versions d'optimisation de l'isomorphisme graphique. Étant donné deux graphiques , nous souhaitons trouver une bijection de à qui maximise le nombre de correspondances (arêtes mappées à arêtes ou non arêtes mappées à non arêtes). Nous donnons un schéma d'approximation du temps qui, pour tout facteur constant , calcule une approximation . Nous le prouvons en combinant l' algorithme d'approximation d'erreur additive temporelle d'Arora et al. [Math. Program., 92, 2002] avec un algorithme de moyenne simple. Nous considérons également le problème de minimisation correspondant (des décalages) et prouvons qu'il est difficile de NP$G_1,G_2$$π$$V(G_1)$$V(G_2)$$n^{O(\log{n})}$$α < 1$$α$$n^{O(\log{n})}$$α$ approximatif pour tout facteur constant . De plus, nous montrons qu'il est également difficile pour NP d'approximer le nombre maximal d'arêtes mappées à des arêtes au-delà d'un facteur de 0,94.$α$

Je n'ai aucune idée de ton problème. Mais il se trouve que je connais une grande collection d'articles sur les algorithmes de correspondance de graphes AVEC PDFS . Applaudissements pour Seth Pettie!

L'article que @Austin Buchanan a indiqué ci-dessus sur l'isomorphisme graphique approximatif ne semble pas correspondre à la version demandée. Je suppose que la matrice d'adjacence a entrées, auquel cas l'objectif ne mesure que les bords appariés. Le modèle d'isomorphisme graphique approximatif mesure à la fois les arêtes appariées et non appariées, ce qui le rend un peu plus facile d'un point de vue approximatif.$0,1$

Il semble que le problème posé soit au moins aussi difficile que le problème du sous-graphe qui n'admet actuellement qu'une approximation polynomiale. Voir http://arxiv.org/abs/1001.2891 et http://arxiv.org/abs/1110.1360 pour plus de détails et l'état actuel en termes d'algorithmes et de dureté.$k$

Maintenant pour la réduction. Supposons que nous voulons résoudre le problème du sous-graphe dans un graphe ; c'est-à-dire que nous voulons trouver un sous-ensemble de nœuds qui maximise le nombre d'arêtes dans le graphe induit . Vous pouvez réduire cela à votre problème en définissant à un graphe composé d'une clique sur -vertices et sommets isolés, et est configurée pour être .$k$$H$$k$$S$$G[S]$$G$$k$$n-k$$G'$$H$