Hachage d'ensembles d'entiers pour les tests d'inclusion

Je recherche une fonction de hachage sur les ensembles H (.) Et une relation R (.,.) Telle que si A est inclus dans B alors R (H (A), H (B)). Bien sûr, R (.,.) Doit être facile à vérifier (temps constant), et H (A) doit être calculé en temps linéaire.

Un exemple de H et R est:

• $H(A) = \bigvee_{x\in A} 1 << (h(x) \mod k)$ , où k est un entier fixe et h (x) une fonction de hachage sur des entiers.
• R (H (A), H (B)) = ((H (A) & H (B)) == H (A))

Y a-t-il d'autres bons exemples? (bien est difficile à définir mais intuitivement si R (H (A), H (B)) alors whp A est inclus dans B).

Modification ultérieure :

1. Je recherche une famille de fonctions de hachage. J'ai beaucoup d'ensembles; 3 à 8 éléments dans chaque ensemble; 90% d'entre eux ont 3 ou 4 éléments. L'exemple de fonction de hachage que j'ai donné n'est pas très bien distribué dans ce cas.
2. Le nombre de bits de H (.) (Dans mon exemple, k) qui devrait être petit (c'est-à-dire H (.) Doit tenir dans un entier ou long).
3. Une belle propriété de R est que si H (.) A k bits, alors R (.,.) Est vrai pour les paires (3 ^ k - 2 ^ k) / 4 ^ k, c'est-à-dire. pour très peu de paires.
4. Les filtres Bloom sont particulièrement bons pour les grands ensembles. J'ai essayé d'utiliser BF pour ce problème, mais les résultats optimaux étaient avec une seule fonction.

(crosspost de stackoverflow , je n'ai pas reçu une réponse assez bonne)

(Cette réponse était à l'origine dans les commentaires, mais je la déplace vers une réponse distincte à la suggestion de Suresh.)

Pour votre application avec de très petits ensembles, vous souhaiterez probablement que le nombre de fonctions de hachage Bloom soit assez grand pour minimiser le nombre de faux positifs. Pour gagner du temps de calcul, je suggère la variation suivante d'un filtre Bloom. Supposons que vous ayez trois fonctions de hachage traditionnelles , , pour les éléments qui produisent chacun des chaînes de bits. Hachez chaque élément au niveau du bit et de ces trois fonctions de hachage. Les hachages d'élément résultants seront d'environ$k$$h_1$$h_2$$h_3$$m$$2^{-3}=1/8^{th}$ceux. Hachez chaque jeu au niveau du bit ou des hachages de ses éléments constitutifs. Parce que vos ensembles ont 3 à 8 éléments, les hachages résultants seront au voisinage de la moitié de ceux, ce qui est probablement ce que vous voulez le mieux pour réduire le taux de faux positifs.

La différence entre le schéma ci-dessus est que le filtre de Bloom traditionnel est analogue à la différence entre le modèle de graphique aléatoire Erdos classique et les graphiques aléatoires réguliers. Le schéma ci - dessus a le nombre effectif de hash Bloom varie un peu autour de sa moyenne de mais est assez grand pour cette différence ne devrait pas importer.$G_{n,p}$$d$$k$$m/8$$m/8$

J'essaierais d'utiliser un filtre Bloom comme hachage avec la même relation que votre proposition. Le calcul de la meilleure taille de filtre et du nombre de fonctions de hachage pour votre application ne devrait pas être trop difficile; voir l' article Bloom Filter de Wikipedia pour l'inspiration. Selon la façon dont vous voulez éviter les faux positifs, quelque chose comme et pourrait suffire.$m$$k$$m=64$$k=4$