Y a-t-il une explication à la difficulté de prouver des bornes inférieures quadratiques pour des problèmes NP intéressants?

Ceci fait suite à ma question précédente:

Meilleure complexité temporelle déterministe connue borne inférieure pour un problème naturel dans NP

Je trouve déconcertant que nous n'ayons pas été en mesure de prouver de limite inférieure de temps déterministe quadratique pour un problème NP intéressant pour lequel les gens se soucient et tentent de concevoir de meilleurs algorithmes. Notre conjecture d'hypothèse de temps exponentielle stipule que SAT ne peut pas être résolu en temps déterministe sous-exponentiel, mais nous ne pouvons même pas prouver que SAT (ou tout autre problème NP intéressant) nécessite un temps quadratique!

Je sais qu'intéressant est quelque peu subjectif et vague. Je n'ai pas de définition. Mais permettez-moi d'essayer de décrire ce que je considère comme un problème intéressant: je parle de problèmes que plus de quelques personnes trouvent intéressants. Je ne parle pas de problèmes isolés principalement conçus pour répondre à une question théorique. Si les gens n'essaient pas de trouver des algorithmes plus rapides pour un problème, cela indique que le problème n'est pas si intéressant. Si vous voulez des exemples concrets de problèmes intéressants, considérez les problèmes dans l'article de Karp de 1972 ou dans Garey et Johnson 1979 (la plupart d'entre eux).

Y a-t-il une explication pour laquelle nous n'avons pas été en mesure de prouver une limite inférieure de temps déterministe quadratique pour un problème NP intéressant?

— Anonyme
source

Parce que les limites inférieures sont difficiles? Quelle sorte d'explication vous satisferait?

— Jeffε

@ Jɛ ﬀ E que diriez-vous des explications non triviales qui sont informatives et perspicaces? Intuitions ou résultats expliquant pourquoi nous sommes coincés là où nous en sommes pour prouver les limites inférieures. Étant donné que nos affirmations ont été beaucoup plus solides que nos résultats, je suis sûr que d'autres experts ont réfléchi à la raison pour laquelle après des décennies d'essais, nous n'avons pas pu obtenir une limite inférieure quadratique sur un problème intéressant de NP.

— Anonyme

Voici une explication du blog de Lipton; Appâts et interrupteurs: pourquoi les limites inférieures sont-elles si dures? rjlipton.wordpress.com/2009/02/12/…

— Mohammad Al-Turkistany

n^{2}

$n^2$

La question des bornes inférieures du temps quadratique est pertinente lorsque vous limitez les algorithmes pour avoir très peu d'espace (par exemple, polylog), ou lorsque vous regardez les machines de Turing à une bande (qui ont un accès très limité à la mémoire). Mais lorsque la mémoire n'est pas restreinte et que l'accès à la mémoire n'est pas restreint, la "vraie" question est de savoir s'il existe des limites inférieures de temps super-linéaires pour des problèmes NP intéressants, dans tout modèle de calcul à accès aléatoire. (Grandjean a prouvé quelques limites inférieures super-linéaires pour les machines de Turing multitape, mais elles reposent sur la structure des bandes unidimensionnelles.)

— Ryan Williams

Réponses:

Voici une explication du blog de Lipton: Bait and Switch: pourquoi les limites inférieures sont-elles si dures?

$n^2$

La perspicacité de Rudich explique pourquoi toute preuve de limite inférieure qu'elle est basée sur la méthode suivante ne peut pas fonctionner.

$f$ $f$

Fondamentalement, il n'y a aucune mesure de progrès qui peut survivre à l'astuce Bait and Switch de Rudich et conduit avec succès à une limite inférieure.

— Mohammad Al-Turkistany
source

Vous pouvez trouver une autre vue de l'argument "appât et changement" dans le chapitre des preuves naturelles d'Arora-Barak. Ils utilisent le même argument pour argumenter qu'un argument de style «mesure de complexité formelle» doit s'appliquer aux fonctions aléatoires à forte probabilité. Mais si une mesure formelle de la complexité

attribue une grande complexité à une fonction aléatoire
n'attribue pas une grande complexité à une fonction facile
peut être facilement calculé à partir de la table de vérité d'une fonction

alors il peut être utilisé pour casser des générateurs pseudo-aléatoires. C'est ce qu'est la barrière des preuves naturelles, de manière informelle. Nous avons soutenu que 1. est très raisonnable pour de nombreuses approches de limites inférieures, sans 2. la mesure de complexité semble inutile, et 3. est basée sur l'observation que nous avons été en mesure de transformer la plupart des preuves d'existence combinatoire en algorithmes efficaces, et sur la intuition qu'une preuve intrinsèquement non constructive est difficile à imaginer.

$C$ $C'$ $C'$ $C$

— Sasho Nikolov
source