Preuves alternatives du lemme de Schwartz – Zippel

Je ne connais que deux preuves du lemme de Schwartz – Zippel. La première preuve (plus courante) est décrite dans l' entrée wikipedia . La deuxième preuve a été découverte par Dana Moshkovitz.

Existe-t-il d'autres preuves qui utilisent des idées sensiblement différentes?

Voici une autre idée que j'avais pour une preuve géométrique. Il utilise la géométrie projective de manière essentielle.

Soit $c \in \mathbb F^m$ soit un point à l' extérieur du hypersurface affine $S$ . Projetez l'hypersurface sur l'hyperplan à l'infini en utilisant $c$ comme centre; c'est-à-dire, mappez chaque $x \in S$ sur $p(x)$ , l'intersection de la ligne unique passant par $c$ et $x$ avec l'hyperplan à l'infini. Les préimages sous $p$ d'un point à l'infini se trouvent toutes sur la même ligne, et donc (encore une fois en réduisant le problème à la dimension 1) il y en a la plupart $d$ . L'hyperplan à l'infini a une cardinalité $|\mathbb F^{m-1}|$, nous obtenons donc la borne supérieure familière$|S| \leq d\ |\mathbb F^{m-1}|$.

Dans le prolongement de la réponse de Per Vognsen, la preuve de Dana Moshkovitz suggère déjà une preuve vraiment facile pour seulement une version légèrement plus faible du lemme de Schwartz-Zippel qui, je pense, suffit pour la plupart des applications.

Soit un polynôme non nul de degré d , où F est un corps fini d'ordre q , et soit x ∈ F n un point tel que f ( x ) ≠ 0 . Il y a ( q n - 1 ) / ( q - 1 ) de nombreuses lignes distinctes passant par x telles qu'elles partitionnent F n - { x $f : \mathbb{F}^n \to \mathbb{F}$$d$$\mathbb{F}$$q$$x \in \mathbb{F}^n$$f(x) \neq 0$$(q^n-1)/(q-1)$$x$$\mathbb{F}^n-\{x\}$. La restriction de à chacune de ces lignes est un polynôme univarié de degré d , qui est non nul, car il est non nul à x , et donc, a au plus d zéros. Ainsi, le nombre total de zéros de f est au plus d ( q n - 1 ) / ( q - 1 ) . Schwartz-Zippel, à titre de comparaison, donne la borne supérieure plus forte de d q n - 1 .$f$$d$ $x$$d$$f$$d(q^n-1)/(q-1)$$d q^{n-1}$

Étant donné la facilité de cette preuve, je suis sûr que c'est du folklore; sinon, cela devrait être :) J'apprécierais que quelqu'un puisse fournir une référence.

La preuve de Moshkovitz est basée sur une géométrie simple mais le papier n'est pas trop clair à ce sujet. Voici l'idée:

Un polynôme de degré dans m variables coupe une hypersurface dans F m . L'intersection de l'hypersurface et d'une ligne indépendante (c'est-à-dire que l'intersection n'est pas la ligne entière) a au plus d points. Si vous pouvez trouver une direction partout indépendante de l'hypersurface, vous pouvez feuilleter F m par des lignes parallèles dans cette direction et compter les intersections à l'intérieur de chaque ligne. La foliation est paramétrée par le complément orthogonal de la direction, qui est un hyperplan isomorphe à F m - 1 , donc le nombre total de points d'hypersurface à travers tout F m est au plus d | $d$$m$$\mathbb F^m$$\mathbb F^m$$\mathbb F^{m-1}$$\mathbb F^m$ .$d\ |F|^{m-1}$

Cela suggère que d'autres preuves dans le même sens pourraient fonctionner.

Edit: Je voulais dire un peu comment la preuve d'Arnab se rapporte à Moshkovitz. Il prend un point en dehors de l'hypersurface et considère le crayon de lignes à travers ce point. Moshkovitz considère une famille de lignes parallèles. Cela semble différent mais c'est vraiment la même chose! Une famille parallèle est un crayon de lignes passant par un point à l'infini. L'algèbre d'Arnab s'applique textuellement si vous prenez d'abord l'homogénéisation du polynôme et vous limitez à l'hyperplan à l'infini en branchant , ce qui efface tous les termes non principaux.$w = 0$

Edit: Voir mon autre réponse pour une nouvelle preuve (mais pas complètement sans rapport).

Tentative 1:

Avez-vous regardé le lemme A.36 (page 529) du livre d' Arora / Barak ? Il fait presque une demi-page et est basé sur l'induction.

Si vous n'avez pas accès au livre, je peux en effectuer la preuve ici.

Tentative 2:

Qu'en est-il de la curieuse histoire du lemme de Schwartz-Zippel ? Entre autres, il cite l'article de DeMillo-Lipton , datant de 1977. Plusieurs autres articles sont également nommés et comparés.

Tentative 3:

La rubrique MathOverflow suivante pourrait également être intéressante: Algorithme P / poly pour les tests d'identité polynomiale .

Le lemme de Schwartz-Zippel est un cas particulier d'un théorème de Noga Alon et Zoltan Füredi comme montré dans la section 4 de cet article: Sur les zéros d'un polynôme dans une grille finie , et donc toute nouvelle preuve de ce théorème donne une nouvelle preuve de Schwartz -Zippel. Pour l'instant, je connais six preuves différentes, dont deux apparaissent dans le document et d'autres y sont référencées.

Le théorème d'Alon-Furedi dit ce qui suit:

Soit un champ, soit A = ∏ n i = 1 A i ⊂ F n une grille finie, soit f ∈ F [ t _ ] = F [ t 1 , … , t n ] un polynôme qui ne disparaître de façon identique sur A . Alors f ( x ) ≠ 0 pour au moins min ∏ y i éléments x ∈ $F$$A = \prod_{i=1}^n A_i \subset F^n$$f \in F[\underline{t}] = F[t_1,\ldots,t_n]$$A$$f(x) \neq 0$$\min \prod y_i$$x \in A$Où le minimum est pris sur l' ensemble des nombres entiers positifs avec Σ n i = 1 y i = Σ n i = 1 # A i - ° f .$y_i \leq \# A_i$$\sum_{i=1}^n y_i = \sum_{i=1}^n \# A_i - \deg f$

Dans ce cas, si vous supposez et déterminez le minimum (ce qui peut être fait facilement en utilisant les trucs Balls in Bins mentionnés dans l'article), alors vous obtenez le lemme de Schwartz-Zippel sur un champ (ou un domaine) .$\deg f < \min \#A_i$

La formulation originale du lemme Schwartz – Zippel ne s'applique qu'aux domaines:

$P\in F[x_1,x_2,\ldots,x_n]$$d \geq 0$$F$$S$$F$$r_1, r_2, \dots, r_n$$S$
$\Pr[P(r_1,r_2,\ldots,r_n)=0]\leq\frac{d}{|S|}.$

On peut reformuler le lemme de telle sorte qu'il ait un sens pour les anneaux commutatifs arbitraires:

$P\in R[x_1,x_2,\ldots,x_n]$$d \geq 0$$R$$S$$R$$\forall s, t\in S:((\exists u\in R:(u\neq 0\land su=tu))\Rightarrow s=t)$$r_1, r_2, \dots, r_n$$S$
$\Pr[P(r_1,r_2,\ldots,r_n)=0]\leq\frac{d}{|S|}.$

L'avantage de la preuve de wikipedia est qu'elle généralise pour montrer que la reformulation est vraie pour les anneaux commutatifs arbitraires, ce qui a été remarqué et élaboré par Emil Jeřábek ici .

Cela donne une preuve alternative du lemme de Schwartz-Zippel, en prouvant la reformulation pour les anneaux commutatifs généraux, et en obtenant la formulation normale pour les champs comme corollaire.