Problèmes majeurs non résolus en informatique théorique?


218

Wikipedia n'énumère que deux problèmes sous "problèmes non résolus en informatique" :

Quels sont les autres problèmes majeurs qui devraient être ajoutés à cette liste?

Règles:

  1. Un seul problème par réponse
  2. Fournir une brève description et tout lien pertinent

1
Puisque vous demandez une liste et qu'il n'y a pas de réponse unique, cela fonctionnera peut-être mieux comme un wiki de communauté.
Daniel Apon

2
Un problème non résolu par réponse, s'il vous plaît; alors nous pouvons facilement classer les réponses en votant haut / bas!
Jukka Suomela

15
Pourquoi seulement la complexité résulte? TCS ne se limite pas à la complexité! Pas de problèmes ouverts en théorie des types? langages de programmation?
Jacques Carette

3
les ajouter dedans, Jacques :).
Suresh Venkat

8
Je pense que nous devrions distinguer entre les problèmes ouverts majeurs qui sont considérés comme des problèmes fondamentaux , tels que , et les problèmes ouverts majeurs qui constitueront une avancée technique, s'ils sont résolus, mais ne sont pas nécessairement aussi fondamentaux, par exemple, des limites inférieures exponentielles en mode circuits (c.-à-d. portes). Nous devrions donc éventuellement ouvrir un nouveau wiki de communauté intitulé "Problèmes ouverts aux frontières du SDC", ou similaire. A C 0 ( 6 )PNPAC0(6)AC0+mod6
Iddo Tzameret

Réponses:


137

Peut-on multiplier par matrices en opérations ?n O ( n 2 )nnO(n2)

L'exposant de la borne supérieure la plus connue a même un symbole spécial, . Actuellement, est approximativement à 2.376, selon l’ algorithme Coppersmith-Winograd . Un bel aperçu de l'état de l'art est Sara Robinson, Vers un algorithme optimal pour Matrix Multiplication , SIAM Nouvelles, 38 (9), 2005.coωω

Mise à jour: Andrew Stothers (dans sa thèse de 2010 ) a montré que avait été amélioré par Virginia Vassilevska Williams ( pré-impression de juillet 2014 ) en . Ces limites ont été obtenues par une analyse minutieuse de la technique de base de Coppersmith-Winograd.ω < 2.372873ω<2.3737ω<2.372873

Mise à jour ultérieure (30 janvier 2014): François Le Gall a prouvé que dans un article publié dans ISSAC 2014 ( préimpression arXiv ).ω<2.3728639


Que diriez-vous d’un objectif modeste et réaliste de ou d’une autre fonction entre et ? Après tout, il est attendu que la multiplication d’entiers ait la limite inférieure de . n 2 + ϵ n 2 O ( n log n )O(n2logn)n2+ϵn2O(nlogn)
Mitch

Je ne suis pas sûr que passer de même à soit considéré comme un "objectif modeste et réaliste", sans parler de la descente sous . Mais ce serait formidable de voir des progrès, alors tentez votre chance! 2 + ε 2 + ε2+0.3762+ϵ2+ϵ
András Salamon le

13
L'exposant de multiplication de matrice est défini comme le plus petit nombre réel tel que les opérations arithmétiques suffisent pour tout . Un facteur comme devrait probablement être attendu. O ( n ω + ε ) ε > 0 log nωO(nω+ϵ)ϵ>0logn
Zeyu

2
J'ajoute simplement, par souci d'exhaustivité, à la connaissance actuelle, que la liaison CW a été améliorée il y a quelques jours par Virginia Williams. Et comme l'ont noté de nombreux autres membres de la communauté, Andrew Stothers avait obtenu son titre en battant CW environ un an avant Virginia. L’enregistrement actuel estO(n2.373)
Akash Kumar


123

L'isomorphisme graphique est-il en P?

La complexité de l’isomorphisme graphique (IG) est une question ouverte depuis plusieurs décennies. Stephen Cook en a parlé dans son document de 1971 sur la NP-complétude de la SAT .

Déterminer si deux graphes sont isomorphes peut généralement être fait rapidement, par exemple avec un logiciel tel que nautyet saucy. En revanche, Miyazaki a construit des classes d'instances pour lesquelles il est nautyprouvé qu'il faut un temps exponentiel.

Read et Corneil ont passé en revue les nombreuses tentatives faites jusqu'à présent pour s'attaquer à la complexité de l'IG: La maladie de l'isomorphisme des graphes , Journal of Graph Theory 1 , 339–363, 1977.

On ne sait pas que GI est en co-NP, mais il existe un protocole aléatoire simple pour le non-isomorphisme de graphique (RNB). Donc, on pense donc que GI (= co-RNB) est "proche de" NP co.

D'autre part, si GI est NP-complet, la hiérarchie polynomiale s'effondre. Il est donc peu probable que l'IG soit complet. (Boppana, Håstad, Zachos, est- ce que le co-NP a de courtes preuves interactives?, IPL 25 , 127–132, 1987)

Shiva Kintali a une belle discussion de la complexité de GI sur son blog.

Laszlo Babai a prouvé que l' isomorphisme des graphes est dans le temps sous-exponentiel .


S'il vous plaît jeter un oeil à cette entrée aussi.
MS Dousti

J'ai créé une limite inférieure exacte pour la détection générique de l’automorphisme par force brute. oeis.org/A186202 Beaucoup moins quemais toujours exponentielle. Espérant que McKay le couplera aux Schrier-Sims pour sa dernière incarnation de NAUTY afin de le faire fonctionner sur du matériel parallèle. n!
Chad Brewbaker

1
Babai a rétracté la revendication de temps d'exécution quasi-polynomial . Apparemment, il y avait une erreur dans l'analyse.
Raphael

4
La demande a été restaurée: people.cs.uchicago.edu/~laci/update.html
niting

91

Toutes les bonnes publications que vous connaissez décrivent la complexité de la factorisation ou du test de primalité en termes de structure du semigroupe de transformation d’addition et de multiplication sur Z_n? Par exemple sur [0,1,2] est la transformation +0 | x1, [1,2,0] est la transformation +1 ...Z3
Chad Brewbaker le


66

Existe-t-il une règle pivot pour l'algorithme simplex qui donne le temps d'exécution polynomial dans le cas le plus défavorable? Plus généralement, existe-t-il un algorithme fortement polynomial pour la programmation linéaire?


11
J'ajouterai à cette question: est-ce que montrer la non-existence d'un LP fortement polynomial impliquerait des résultats de séparation de classe?
Anand Kulkarni

,,, et la conjecture de Hirsch ...
Sariel Har-Peled

7
En 2011, Oliver Friedmann a montré des limites inférieures exponentielles pour de nombreuses règles pivotantes (il revendique en fait des règles pivotantes «essentiellement naturelles», y compris Random Facet et Random Edge). Ces limites s'appliquent lors de la résolution d'un programme linéaire dérivé de jeux de parité à 2 joueurs. La thèse de Friedmann, edoc.ub.uni-muenchen.de/13294, examine l’histoire de manière plus approfondie (y compris diverses formes de la conjecture de Hirsch et le contre-exemple de 2010 de la forme forte de Francisco Santos).
András Salamon

63

L’ hypothèse de temps exponentiel (ETH) affirme que la résolution de SAT nécessite un temps exponentiel de 2 Ω (n) . ETH implique beaucoup de choses, par exemple que SAT n'est pas dans P, donc ETH implique P ≠ NP. Voir Impagliazzo, Paturi, Zane, Quels problèmes ont une complexité fortement exponentielle? , JCSS 63, 512–530, 2001.

On pense généralement que l’ETH est difficile à prouver car il implique de nombreuses autres séparations de classes de complexité.


4
Sérieusement, je ne dirais pas que l’ETH est un problème ouvert majeur à ce stade précis car il implique P ≠ NP et est donc au moins aussi difficile à prouver.
Holger

17
Non? IMHO, votre argument implique que l'ETH est encore plus un problème ouvert majeur que PvsNP.
Jeffε

Pouvez-vous expliquer pourquoi n'implique pas l'ETH? PNP
Emil

13
Si , alors , mais ETH est faux. P N PNP=PTIME(nlogn)PNP
Jeffε

3
Ah ok. Mais vous voulez dire DTIME ( )? nlogn
Emil

59

Immerman et Vardi montrent que la logique en virgule fixe capture PTIME dans la classe des structures ordonnées . L'un des plus gros problèmes en suspens dans la théorie descriptive de la complexité est de savoir si la dépendance à l'ordre peut être supprimée:

Existe-t-il une logique qui capture PTIME?

En termes simples, une logique capturant PTIME est un langage de programmation pour les problèmes de graphes qui fonctionne directement sur la structure du graphe et qui n’a pas accès au codage des sommets et des arêtes, de sorte que les éléments suivants sont conservés:

  1. tout programme syntaxiquement correct modélise un problème de graphe calculable en temps polynomial et
  2. tout problème de graphe calculable en temps polynomial peut être modélisé par un programme syntaxiquement correct.

S'il n'y a pas de logique qui capture PTIME, alors puisque NP est capturé par la logique de second ordre existentielle. Une logique capturant PTIME fournirait une attaque possible à P vs NP.PNP

Voir le blog de Lipton pour une discussion informelle et M. Grohe: La quête d'une logique de capture de PTIME (LICS 2008) pour un aperçu plus technique.


3
Immerman-Vardi montre que FO (LFP) capture la logique sur des structures <i> ordonnées </ i>. Il s'agit donc d'une question sur la capture de PTIME sur des modèles finis arbitraires, je suppose. Si je vous ai bien compris, cette question n’est-elle pas une traduction de la question de savoir si P! = NP? Il serait peut-être plus judicieux de poser une ou plusieurs questions non résolues dans l’enquête à laquelle vous vous connectez. Toutes mes excuses si je ne suis pas au courant ici.
Aaron Sterling

5
Merci, j'ai édité la réponse pour mentionner Immerman-Vardi pour clarification. Non, ce problème ouvert n’est pas connu pour être équivalent à P vs NP. Les problèmes ouverts dans l'enquête sont des cas particuliers du grand problème ouvert et ne sont pas appropriés dans ce fil. Peut-être que cette référence est également utile: rjlipton.wordpress.com/2010/04/05/…
Holger

55

La conjecture des jeux uniques est-elle vraie?
Et: étant donné qu’il existe des algorithmes d’approximation temporelle sous-exponentielle pour Unique Games , où se situe le problème en terme de complexité?


Ne serait-il pas plus précis de dire que si le CGU n'est pas vrai (c'est- à-dire que les jeux uniques ne sont pas difficiles, mais plus difficiles que P), quelle serait la place du CGU dans le paysage?
András Salamon

Oops. Oui, je devrais reformuler cela. Mon intention était de mettre en évidence la divergence apparente qui résulte de jeux uniques ayant un algorithme d'approximation non trivial dans un temps sous-exponentiel (mais pas tout à fait polynomial). Plus de: Qu'est-ce que cela dit, si le temps d'exécution sous-exponentiel est optimal pour des jeux uniques?
Daniel Apon

2
Rétrospectivement, j'ai pensé que je devrais inclure un pointeur vers cette pré-impression . À mon avis, c'est un développement aussi important que le document que j'ai lié dans la réponse.
Daniel Apon

1
Il convient de noter qu’il n’existe aucune instance difficile connue de UCG. La meilleure approche actuelle fonctionne efficacement dans chaque cas testé. Nous ne pouvons tout simplement pas prouver que nous avons trouvé les exemples les plus pathologiques.
Stella Biderman

55

Permanent versus déterminant

La question permanente versus déterminante est intéressante en raison de deux faits. Premièrement, le permanent d’une matrice compte le nombre d’appariements parfaits dans un graphe bipartite. Par conséquent, le permanent d'une telle matrice est # P-Complete. Dans le même temps, la définition du permanent est très proche de celle du déterminant, finalement différente uniquement à cause d'un simple changement de signe. Il est bien connu que les calculs de déterminant sont en P. On étudie la différence entre le déterminant permanent et le déterminant et le nombre de calculs de déterminant nécessaires pour calculer le discours permanent sur P par rapport à #P.


5
Pour moi, cela ne constitue pas un "problème ouvert majeur", car la question théorique de la complexité actuelle (ont-elles des complexités différentes) est-elle résumée par P = NP (puisque #P est un sur-ensemble de NP) et que cette question est mise de côté il n'y a pas de problème concret posé ici.
David Eppstein

Je suis d'accord avec ça.
Ross Snider

10
@DavidEppstein: Per v. Det est plus proche de GapP v GapL, un analogue de comptage de NP v NL. Il est possible que et donc . En outre, per v det est beaucoup plus ancien que P v NP, remontant essentiellement à [Polya 1913], dans lequel il montre qu'il est impossible d'apposer des signes à une matrice pour en changer le permanent en déterminant (sauf 2x2). Valiant a introduit une variante sur ces questions (permettant à la taille de det d'être supérieure à n) en raison de son importance en complexité, mais même les œuvres antérieures à Valiant donnent la motivation "parce que le permanent est si difficile à calculer ..." (par exemple Gibson 1971)G a p P G a p LNLP=NPGapPGapL
Joshua Grochow

Quels sont les algorithmes de pointe pour calculer le permanent d'une matrice 0-1? c'est-à-dire le nombre de matrices de permutation légales que vous pouvez générer à partir d'un sous-ensemble des 1.
Chad Brewbaker

@ChadBrewbaker: voir Mark Jerrum, Alistair Sinclair, Eric Vigoda, "Un algorithme d'approximation polynomial pour le permanent d'une matrice à entrées non négatives", Journal de l'ACM 51/4 (2004), 671, citeseerx.ist. psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.141.116
Zsbán Ambrus

47

Peut-on calculer la FFT en beaucoup moins que temps?O(nlogn)

Dans la même veine (très) générale, il existe de nombreuses questions concernant l'amélioration des temps d'exécution de nombreux problèmes classiques ou algorithmes: par exemple, peut - on résoudre le chemin le plus court total (APSP) dans temps?O(n3ϵ)

Edit: APSP s'exécute dans le temps "où les additions et les comparaisons de réels sont à coût unitaire (mais toutes les autres opérations ont coût logarithmique) ": http://arxiv.org/pdf/1312.6680v2.pdf(n32Ω(logn)1/2)


3
Un développement intéressant sur la FFT: "* Un algorithme temporel O (k log n) pour le cas où le signal d'entrée a au plus k coefficients de Fourier non nuls et * An O (k log n log (n / k)) algorithme temps-réel pour les signaux d'entrée généraux. " source: arxiv.org/abs/1201.2501v1
Shadok



44

NP versus co-NP

La question NP versus co-NP est intéressante car NP ≠ co-NP implique P ≠ NP (car P est fermé sous complément). Elle concerne également la "dualité": séparation entre trouver / vérifier des exemples et trouver / vérifier des contre-exemples. En fait, prouver que la question est à la fois NP et co-NP constitue notre première preuve irréfutable qu'un problème qui semble être en dehors de P n'est pas non plus NP-complet.


7
Ceci est également lié à la complexité de la preuve propositionnelle. Il existe un système de preuve propositionnel polynomial si et seulement si est égal à . c o N PNPcoNP
Kaveh

41

Existe-t-il des problèmes qui ne peuvent pas être résolus efficacement par des ordinateurs parallèles?

Les problèmes qui sont P-complets ne sont pas connus pour être parallélisables. Les problèmes P-complets incluent Horn-SAT et la programmation linéaire. Mais pour prouver que tel est le cas, il faudrait séparer certaines notions de problèmes parallélisables (telles que NC ou LOGCFL) de P.

Les concepteurs de processeurs informatiques augmentent le nombre d'unités de traitement, dans l'espoir d'améliorer les performances. Si des algorithmes fondamentaux tels que la programmation linéaire ne sont par nature pas parallélisables, les conséquences en seront lourdes.


16
Je suis à peu près sûr que les algorithmes LP, tels qu'ils se présentent aujourd'hui, ne sont pas parallélisables. Je crois qu'ils s'inscrivent dans le modèle de RAM-sans-bit-opérations de Mulmuley. Dans dx.doi.org/10.1137/S0097539794282930 K. Mulmuley. Limites inférieures dans un modèle parallèle sans opérations sur les bits. SIAM J. Comput. 28 (4), 1460-1509 (1999), il montre que dans ce modèle montre que de nombreux algorithmes naturels (généralement numériques) pour les problèmes complets ne sont pas parallélisables. Cela ne répond pas à la question dans le cas booléen, mais à une large classe d'algorithmes naturels. PPNCP
Joshua Grochow

41

Est-ce que toutes les tautologies propositionnelles ont des preuves de Frege de taille polynomiale?

On peut soutenir que le principal problème ouvert de la complexité des preuves est de démontrer les limites inférieures de taille super-polynomiales sur les preuves propositionnelles (également appelées preuves de Frege).

De manière informelle, un système de preuve Frege est juste un système de preuve propositionnel standard pour prouver des tautologies propositionnelles (on apprend dans un cours de base en logique), ayant des axiomes et des règles de déduction, où les lignes de contrôle sont écrites sous forme de formules. La taille d'une preuve Frege est le nombre de symboles nécessaires pour écrire la preuve.

Le problème demande alors s’il existe une famille de formules tautologiques propositionnelles pour lesquelles il n’existe pas de polynôme tel que la taille minimale de la preuve de Frege de soit au maximum , pour tout (où désigne la taille de la formule ).(Fn)n=1pFnp(|Fn|)n=1,2,|Fn|Fn


Définition formelle d'un système à l'épreuve de Frege

Définition (règle Frege) Une règle Frege est une séquence de formules propositionnelles , pour , écrit sous la forme . Dans le cas où , la règle de Frege est appelée un schéma axiome . Une formule est dite dérivée par la règle de si sont toutes des instances de substitution de , pour une affectation aux variables (c'est-à-dire, il y a des formules A0(x¯),,Ak(x¯)k0A1(x¯),,Ak(x¯)A0(x¯)k=0F0F1,,FkF0,,FkA1,,Akx¯B1,,Bn tels que pour tout . La règle de Frege est dite saine si, chaque fois qu’une assignation satisfait les formules du côté supérieur , elle satisfait également la formule du côté inférieur .Fi=Ai(B1/x1,,Bn/xn),i=0,,kA1,,AkA0

Définition (preuve de Frege) Étant donné un ensemble de règles de Frege, une preuve de Frege est une séquence de formules telle que chaque ligne de vérification est un axiome ou a été dérivée par l’une des règles de Frege données à partir de lignes de vérification précédentes. Si la séquence se termine par la formule , alors la preuve est considéré comme une preuve de . La taille d'une épreuve Frege est la taille totale de toutes les formules de l'épreuve.AA

Un système de preuve est dit implicationally complet si pour tout ensemble de formules , si implique sémantiquement , alors il y a une preuve de en utilisant axiomes (éventuellement) de . Un système de preuve est dit bon s'il admet des preuves de tautologies (quand on n'utilise pas d'axiomes auxiliaires, comme dans le ci-dessus).TTFFTT

Définition (système de preuve Frege) Soit un langage propositionnel et un ensemble fini de règles de Frege sonores, on dit que est un système de preuve Frege si est implicitement complet.PPP

Notez qu'une preuve Frege est toujours bonne, car les règles Frege sont supposées être bonnes. Nous n'avons pas besoin de travailler avec un système spécifique à l'épreuve Frege, car un résultat de base de la preuve indique que tous les deux systèmes à l'épreuve Frege, même dans des langues différentes, sont polynômes. [Reckhow, thèse de doctorat, Université de Toronto, 1976].


L'établissement de limites inférieures sur les preuves Frege pourrait être considéré comme une étape vers la preuve de , car si cela est vrai, aucun système de preuve propositionnelle (y compris Frege) ne peut avoir de preuves de taille polynomiale pour toutes les tautologies.NPcoNP


38

Peut-on calculer la distance d'édition entre deux chaînes de longueur en temps sub-quadratique, c'est-à-dire en temps pour un certain ?nO(n2ϵ)ϵ>0


8
Avez-vous des références pour cela? J'ai en fait pensé que cette proposition était trivialement fausse bien que je ne puisse pas penser à une preuve par cœur. (Bien que je sache que le temps d'exécution peut être rendu dépendant du nombre d'erreurs.)
Konrad Rudolph le

5
Mise à jour (STOC 2015): Backurs et Indyk démontrent qu'il est impossible d'obtenir un temps meilleur que le quadratique. Voir rjlipton.wordpress.com/2015/06/01/puzzling-evidence .
Neal Young

38

Existe-t-il des algorithmes temporels réellement sous-quadratiques (signifiant pour une constante constante pour les problèmes 3SUM-hard ?O(n2δ)δ>0

En 2014, Grønlund et Pettie ont décrit un algorithme déterministe pour 3SUM lui-même, qui s'exécute dans le temps . Bien qu’il s’agisse d’un résultat majeur, l’amélioration par rapport à n’est que (sub) logarithmique. De plus, aucun algorithme sous-quadratique similaire n'est connu pour la plupart des autres problèmes de 3SUM-hard.O ( n 2 )O(n2/(logn/loglogn)2/3)O(n2)


9
Bonne question. Cependant, l'existence d'algorithmes sous-quadratiques pour le problème 3SUM est largement ouverte, même pour les algorithmes aléatoires . Bien sûr, l'algorithme déterministe aurait été encore plus agréable ..
Piotr

3
Dans le cas quantique, il existe des bornes inférieures et supérieures correspondantes de n log (n) correspondant à 3SUM: Andrej Dubrovsky, Oksana Scegulnaja-Dubrovska Limites inférieures quantiques améliorées pour le problème de la somme 3. Actes de Baltic DB & IS 2004, vol. 2, Riga, Lettonie, p.40-45.
Martin Schwarz

1
J'avais l'impression que nous n'avons pas de limite inférieure pour aucun problème dans NP.
Sariel Har-Peled

1
J'avais l'impression nette que si vous êtes limité à des problèmes de décision (aucun argument de sortie), rien n'est connu. Mais vous devriez vraiment demander à une personne complexe.
Sariel Har-Peled

3
Un article récent d'arXiv prétend avoir résolu cette hypothèse en fournissant des algorithmes sous-quadratiques pour 3-SUM.
Mangara

35

BQP = P?

Aussi: NP contenu dans BQP?

Je sais que cela a violé les règles en ayant deux questions dans la réponse, mais quand on prend la question P vs NP, ce ne sont pas nécessairement des questions indépendantes.


33
  1. Conjecture d'isomorphisme. (Tous les problèmes NP-complets sont-ils le "même" problème?)
  2. La cryptographie peut-elle être basée sur un problème NP-complet?

  3. et un peu plus loin du grand public:

  4. Quelle est la taille de NP dans EXP?

(Officieusement, si vous rencontrez tous les problèmes liés à EXP sur une table et que vous en prenez un uniformément au hasard, quelle est la probabilité que le problème que vous avez choisi soit également défini sur NP? Cette question a été formalisée par la notion de mesure liée aux ressources. On sait que P a une mesure de zéro dans EXP, c’est-à-dire que le problème que vous avez relevé dans le tableau n’est presque pas dans P.)


Est-ce la même chose que la p-mesure dans le zoo de complexité? Où pourrais-je aller pour en savoir plus à ce sujet?
András Salamon

2
P-measure est un exemple de mesure liée à une ressource: plus généralement, vous pouvez imaginer une machine essayant de prédire une séquence et les ressources de calcul dont elle dispose pour le faire sont ce qui fournit la ressource liée à la mesure. J'ai utilisé p-mesure dans mon explication informelle d'EXP sur une table. Pour des lectures plus poussées, je vous recommande la version journal de l’enquête suivante de Lutz (la CZ cite la version de cette enquête de la conférence). cs.iastate.edu/~lutz/=PAPERS/qset.ps (en post-scriptum, j'espère que ça ira)
Aaron Sterling

Merci. Voici un PDF de ce document pour ceux qui ne savent pas lire le fichier PS: archives.cs.iastate.edu/documents/disk0/00/00/01/28/00000128-01/…
András Salamon

2
Oui à votre première question. P a la mesure 0 en EXP, donc si NP ne le fait pas, vous obtenez immédiatement P! = NP. Pour la deuxième question, je vous suggère de lire le dernier paragraphe de la page 28 du sondage auquel Andras et moi-même avons participé. (Pas assez d'espace dans le commentaire pour le coller ici, désolé.) Fondamentalement, si NP a la mesure zéro, il existe un algorithme réalisable qui pourrait bien deviner l'appartenance à un problème NP-difficile "déraisonnablement". Il semble donc probable que NP n’est pas une mesure zéro dans EXP.
Aaron Sterling

1
@Artem: vous pouvez commencer ici: blog.computationalcomplexity.org/2003/03/…
Aaron Sterling

29

Quelle est l'approximabilité de Metric TSP ? L'algorithme de Christofides de 1975 est un algorithme d'approximation en temps polynomial (3/2). Est-ce NP-difficile de faire mieux?

  • Le TSP métrique se situant dans les limites d’un facteur inférieur à 220/219 est NP-difficile (Papadimitriou et Vempala, 2006 [PS] ). À ma connaissance, il s'agit de la limite inférieure la plus connue.

  • Certaines preuves suggèrent que la limite réelle pourrait être de 4/3 (Carr et Vempala, 2004 [Version gratuite] [Bonne version] ).

  • La limite supérieure de l'approximabilité a récemment été abaissée à (Mucha 2011, "Approche 13/9 pour TSP graphique" [ PDF ]).13/9


1
TSP métrique récemment effectué par 3/2 - e où e est constant (près de 0,002)
Saeed


2
@ Saeed, parliez-vous de l'algorithme uniquement dans le cas particulier de Metric TSP: pour Graphic TSP? Puis il a été amélioré à 13/9 par Mucha. Il semble que 3/2 soit la limite supérieure la plus connue pour TSP métrique.
Alex Golovnev

@ AlexGolovnev, Bonjour Alex, Oui, mais mon commentaire était avant la publication du nouveau document;) (j'ai vu le papier d'Oveis Gharan à ce moment-là).
Saïd

28

Donne une fonction explicite avec une complexité de circuit exponentielle.

Shannon a prouvé en 1949 que si vous choisissez une fonction booléenne au hasard, elle présente une complexité de circuit exponentielle avec une probabilité proche de une.

La meilleure limite inférieure pour une fonction booléenne explicite nous avons jusqu’à présent est de K. Iwama, O. Lachish, H Morizumi et R. Raz.f:{0,1}n{0,1}5no(n)


11
Cette façon de poser le problème me dérange toujours, car il faut faire attention à ce que vous entendez par "explicite". Il est facile de rédiger une description d’une fonction ayant une complexité de circuit exponentielle. Si "explicite" signifie "calculable en temps exponentiel ou moins", alors je suis d'accord, il s'agit d'un problème majeur en suspens.
Ryan Williams le

1
Ryan, tu as raison. C'est un point extrêmement important. Il est également facile d’écrire une description d’une fonction non calculable. Dans l'article que je cite, la borne inférieure est prouvée pour une fonction qui est constructible dans le temps polynomial déterministe.
Marc

Existe-t-il une bonne exposition sur le travail de Shannon?
T ....

3
L'argument est détaillé dans les notes suivantes: math.tau.ac.il/~zwick/scribe-boolean.html
Marc

C’est un excellent problème qui me rappelle de très bons résultats de Shanon lors de ma deuxième année d’université.
Stella Biderman

27

Quelle est la complexité de la requête de test de l' absence de triangle dans des graphes denses (c'est-à-dire, distinguer les graphes sans triangle de ceux far de leur absence de triangle)? La borne supérieure connue est une tour d'exponentielles dans , tandis que la limite inférieure connue n'est que légèrement superpolynomiale dans . C’est une question assez fondamentale dans la combinatoire additive théorie des graphes extrêmes / ouverte depuis près de 30 ans.ϵ1/ϵ1/ϵ


27

Séparez NEXP de BPP. Les gens ont tendance à croire que BPP = P, mais personne ne peut séparer NEXP de BPP.


26

Je sais que le PO n’a demandé qu’un seul problème par publication, mais les conférences RTA (Techniques de réécriture et leurs applications) 1 et TLCA (Typed Lambda Calculi et leurs applications) maintiennent des listes de problèmes en suspens 2 . Ces listes sont très utiles car elles contiennent également des indications sur des travaux antérieurs visant à résoudre ces problèmes.


1
Aucun problème. Est-ce que quelqu'un connaît d'autres listes similaires d'autres conférences? Ils sont assez intéressants à lire.
Dominic Mulligan

26

Déromérisation du problème de test d'identité polynomiale

Le problème est le suivant: Soit un circuit arithmétique calculant un polynôme , est-ce que est identique à zéro?PP

Ce problème peut être résolu en temps polynomial randomisé, mais on ne sait pas qu'il est possible de le résoudre en temps polynomial déterministe.

Relatif est conjecture Shub et Smale . Étant donné un polynôme , nous définissons sa complexité comme la taille du plus petit circuit arithmétique calculant utilisant la seule constante . Pour un polynôme univarié , soit le nombre de ses racines réelles.τPττ(P)P1PZ[x]z(P)

Prouver qu'il existe une constante universelle telle que pour tout , .P Z [ x ] z ( P ) ( 1 + τ ( P ) ) ccPZ[x]z(P)(1+τ(P))c



25

Il y a beaucoup de problèmes en suspens dans les calculs lambda (dactylographiés et non typés). Voir la liste des problèmes en suspens de la TLCA pour plus de détails. il y a aussi une belle version PDF sans les cadres.

J'aime particulièrement le problème n ° 5:

Existe-t-il des termes non typables dans mais à l'aide de types récursifs positifs?Fω


3
Merci à Dominic Mulligan de m'avoir signalé cette liste de problèmes.
Jacques Carette

25

Le problème du logarithme discret est-il dans P?

Soit soit un groupe cyclique d'ordre et tel que est un générateur de . Le problème de trouver tel que est connu sous le nom de problème de logarithme discret (DLP). Existe-t-il un algorithme (classique) pour résoudre le DLP en temps polynomial dans le cas le plus défavorable en nombre de bits de ?q g , h G g G n N g n = h qGqg,hGgGnNgn=hq

Il existe des variantes de DLP que l’on pense plus simples, mais qui ne sont pas encore résolues. Le problème informatique Diffie-Hellman (CDH) demande de trouver donné et . Le problème décisionnel de Diffie-Hellman (DDH) demande de décider, étant donné , si . g , g a g b g , g a , g b , h Ggabg,gagbg,ga,gb,hGgab=h

Clairement, DLP est difficile si CDH est difficile, et CDH est difficile si DDH est difficile, mais aucune réduction réciproque n'est connue, à l'exception de certains groupes. L'hypothèse selon laquelle DDH est difficile est la clé de la sécurité de certains cryptosystèmes, tels que ElGamal et Cramer-Shoup .


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Eh bien, nous savons que les DLP sont contenus dans BQP.
Joe Fitzsimons

DLP a récemment été placé en quasi-P pour le groupeG=Fpn×
Mark

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Les jeux de parité sont des jeux de graphes d'une durée infinie pour deux joueurs, dont le problème de décision naturel est NP et co-NP, et dont le problème de recherche naturel est dans PPAD et PLS.

http://en.wikipedia.org/wiki/Parity_game

Les jeux de parité peuvent-ils être résolus en temps polynomial?

(Plus généralement, une question ouverte de longue date en programmation mathématique consiste à savoir si les problèmes de complémentarité linéaire à matrice P peuvent être résolus en temps polynomial?)


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La zone de complexité paramétrée a sa propre charge de problèmes ouverts.

Considérez les problèmes de décision

  • étant donné existe-t-il une couverture de sommet de taille pour le graphe ?(G,k)kG
  • étant donné existe-t-il une affectation satisfaisante du poids pour la formule ?(F,k)kF
  • étant donné existe-t-il une clique de taille dans un graphe ?(G,k)kG
  • etc...

Beaucoup, BEAUCOUP, de problèmes combinatoires existent sous cette forme. La complexité paramétrée considère un algorithme comme "efficace" si son temps d'exécution est lié par la limite supérieure de où est une fonction arbitraire et est une constante indépendante de . En comparaison, notez que tous ces problèmes peuvent être facilement résolus en .f(k)ncfcknO(k)

Ce cadre modélise les cas dans lesquels nous recherchons une petite structure combinatoire et nous pouvons nous permettre une durée d'exécution exponentielle par rapport à la taille de la solution / témoin .

Un problème avec un tel algorithme (par exemple, la couverture de vertex) est appelé FPT ( Fixed Parameter Tractable ).

La complexité paramétrée est une théorie mature, qui repose à la fois sur de solides fondements théoriques et sur des applications pratiques. Les problèmes de décision intéressants pour une telle théorie forment une hiérarchie très bien structurée de classes avec des problèmes naturels complets:

FPTW[1]W[2]W[i]W[i+1]W[P]

Bien sûr, elle est ouverte si l’une ou l’autre de ces inclusions est stricte ou non. Notez que si alors SAT a un algorithme sous-exponentiel (ce n'est pas trivial). La dernière déclaration relie la complexité prédéfinie avec l’ mentionné ci-dessus.E T HFPT=W[1]ETH

Notez également que la recherche de tels effondrements n’est pas un exercice vide de choses: prouver que revient à prouver qu’il existe un algorithme modifiable à paramètre fixe pour la recherche de cliques.kW[1]=FPTk

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