Complexité à une alternance SMT

9

Je recherche la complexité de la satisfiabilité d'une formule ou d'une formule où est la formule de la forme: Où est la constante dans et le domaine des variables est également . $\forall y_1, \dots,y_n, \exists x_1,\dots,x_m, \phi$ $\exists x_1,\dots,x_m \forall y_1, \dots,y_n,\phi$ $\phi$

ϕ := ϕ \land ϕ | \neg ϕ | ϕ \to ϕ | ψ

$\phi:= \phi \wedge\phi ~| ~\neg \phi ~| ~ \phi\to \phi~| ~\psi$

ψ := t > t | t = t

$\psi := t>t~| ~t=t$

t := t + t | x_{i} | y_{i} | c

$t:= t+t~| ~x_i~|~y_i ~| ~c$

c

$c$

N

$\mathbb{N}$

x_{i}, y_{i}

$x_i,y_i$

N

$\mathbb{N}$

En fait, les sont ou . Est-ce que cela simplifie la complexité? $y_i$ $0$ $1$

Toutes les réponses avec références seraient acceptées avec plaisir.

Merci

cc.complexity-theory reference-request lo.logic

— wece
source

Si phi était booléen, alors vous êtes au deuxième niveau de la hiérarchie polynomiale parce que je peux résoudre le problème par une machine de Turing non déterministe utilisant un solveur SAT comme oracle. Le même raisonnement ne fonctionnerait-il pas ici?

— Mikolas

1

Comme indiqué dans la question, cela semble même indécidable, car il inclut le 10ème problème de Hilberts en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_tenth_problem

— Magnus Find

@MagnusFind Merci, vous avez raison. Mais en fait je n'ai pas la multiplication (édité, désolé).

— wece

Π_{2}

$\Pi_2$

Σ_{2}

$\Sigma_2$

0

$0$

1

$1$

6

Reddy et Loveland ont répondu avec une certaine précision à la question de la vérité dans l'arithmétique de Presburger avec une alternance quantifiée bornée:

CR Reddy & DW Loveland: arithmétique du presburger avec alternance quantifiée bornée .

Le papier peut être trouvé ici (désolé pour le lien laid). Leur résultat principal est énoncé comme suit:

$\mathrm{PA}(m)$ $m$ $n$
$2^{d n^{m + 4}}$ $2^{dn^{m+4}}$ $2^{2^{e n^{m + 4}}}$ $2^{2^{en^{m+4}}}$ $d$ $e$

$m=2$

— cody
source

6

$m=1$ $n$

— Sylvain
source

5

Je ne connais pas de références pour le fragment quantifié mais votre problème n'est pas le même que de décider des fragments bien étudiés de l'arithmétique de Presburger parce que vous avez des coefficients unitaires.

$x + c < y$ $x$ $y$ $c$

Deux théories faciles dont la combinaison est difficile. Pratt, 1977.

$x$ $y$

Décider des formules de logique de séparation par SAT et élimination incrémentielle du cycle négatif. Chao Wang, Franjo Ivančić, Malay Ganai, Aarti Gupta, 2005.

$0$ $1$ $-1$

Une procédure de décision efficace pour les contraintes UTVPI. Shuvendu K. Lahiri et Madanlal Musuvathi, 2005.

$n$ $\mathcal{O}(3^n)$

Le domaine abstrait de l'octaèdre. Robert Clarisó et Jordi Cortadella, 2004.

Pour le cas de l'alternance des quantificateurs bornés, je ne connais pas de meilleurs résultats que ceux de Reddy et Loveland mais peut-être qu'un expert peut vous orienter dans la bonne direction.

— Vijay D
source