Frapper des sets avec une sous-famille

Soit une famille de sous-ensembles d'éléments d'un univers fini d'objets. Une famille de sous-ensembles d'éléments de , avec , est un - ensemble de frappes de si pour chaque il existe au moins un ensemble tel que .$F$$d$$U$$H$$k$$U$$1 \le k < d$$(k,d)$$F$$V \in F$$W \in H$$W \subset V$

Étant donné une collection comme ci - dessus, la - problème frappant-ensemble est de trouver un plus petit -hitting-ensemble pour .$F$$(k,d)$$(k,d)$$H$$F$

Lorsque nous avons le problème standard de jeu de frappe, et il y a beaucoup de résultats précédents pour cela. Je connais des analyses paramétrées pour le cas avec et (voir Brankovic et Fernau , par exemple).$k = 1$$k = 1$$d \le 3$

Quelqu'un connaît-il des résultats concernant la complexité ou la dureté de l'approximation du problème -hitting-set avec:$(k,d)$

1. $k = 1$ et ?$d = 4$
2. $d = 4$ et ?$1 < k < d$
3. $1 \le k < d$ et arbitraire?$d$

Pour une constante le problème de l'ensemble de frappes n'est pas plus difficile que l' ensemble de frappes origine (c'est-à-dire ) compte tenu à la fois de l'approximation et de la complexité paramétrée. Il y a une simple réduction de -HS à -HS. Pour une instance du premier problème, nous obtenons une instance de du second dans laquelle chaque élément correspond à un sous-ensemble de éléments de , et chaque ensemble dans correspond à un ensemble dans de la même manière (c'est-à-dire en mappant tous$d$$(k,d)$$d$$k=1$$kd$$d$$(U,\mathcal{F},d,k)$$(U',\mathcal{F'},d)$$e \in U'$$k$$U$$\mathcal{F'}$$\mathcal{F}$$k$ -élément des sous-ensembles de aux éléments dans ). Puisque est une constante, la taille de la nouvelle instance est une fonction polynomiale de la taille de la première instance ( ). Un jeu de frappe pour le premier problème correspond à un jeu de frappe de même cardinalité pour le deuxième problème et vice versa, donc la réduction préserve l'approximation.$U$$U'$$k$$O(n^k)$