Quelle est la différence entre les flèches et les objets exponentiels dans une catégorie fermée cartésienne?

Dans une catégorie cartésienne ( CCC ), il existe les soi-disant objets exponentielles , écrit . Lorsqu'un CCC est considéré comme un modèle de simplement typé -calcul , un objet exponentielle comme caractérise l'espace de fonction à partir du type type . Un objet exponentiel est introduit par une flèche appelée et éliminé par une flèche appelée (qui malheureusement appelé $B^A$ $\lambda$ $B^A$ $A$ $B$ $curry : (A \times B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow C^B)$ $apply : C^B \times B \rightarrow C$ $eval$ dans la plupart des textes sur la théorie des catégories). Ma question est la suivante: y a-t-il une différence entre l'objet exponentiel et la flèche ? $C^B$ $B \rightarrow C$

type-theory lambda-calculus ct.category-theory

— journée
source

Dans une catégorie, c'est l' objet exponentiel , mais en théorie des types, il pourrait être appelé le type exponentiel .

— Andrej Bauer

Ce n'est pas une question au niveau de la recherche. Passer à cs-exchange?

— Andrea Asperti

L'un est interne et l'autre externe .

Une catégorie est constituée d'objets et de morphismes. Quand nous écrivons nous voulons dire que est un morphisme de l' objet à l' objet . Nous pouvons collecter tous les morphismes de à en un ensemble de morphismes , appelé "hom-set". Cet ensemble n'est pas un objet de , mais plutôt un objet de la catégorie des ensembles. $\mathcal{C}$ $f : A \to B$ $f$ $A$ $B$ $A$ $B$ $\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B)$ $\mathcal{C}$

En revanche, une exponentielle est un objet en . C'est ainsi que " pense à ses hom-sets". Ainsi, doit être équipé de quelle structure les objets de ont. $B^A$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{C}$ $B^A$ $\mathcal{C}$

À titre d'exemple, considérons la catégorie des espaces topologiques. Alors est une carte continue de à , et est l'ensemble de toutes ces cartes continues. Mais , s'il existe, est un espace topologique! Vous pouvez prouver que les points de sont (en correspondance biunivoque avec) les cartes continues de à . En fait, cela vaut en général: les morphismes $f : X \to Y$ $X$ $Y$ $\mathrm{Hom}_{\mathsf{Top}}(X,Y)$ $Y^X$ $Y^X$ $X$ $Y$ $1 \to B^A$ (qui sont "les points globaux de ") sont en correspondance bijective avec les morphismes , car $B^A$ $A \to B$

H o m (1, B^{A}) ≅ H o m (1 \times A, B) ≅ H o m (A, B) .

$\mathrm{Hom}(1, B^A) \cong \mathrm{Hom}(1 \times A, B) \cong \mathrm{Hom}(A, B).$

Parfois , nous obtenons bâclée sur l' écriture par rapport à . En fait, souvent ces deux sont des synonymes, étant entendu que pourrait signifier «oh au fait ici, je voulais dire l'autre notation, donc cela signifie que est un morphisme de à ». Par exemple, lorsque vous avez noté le morphisme de vous devriez vraiment avoir écrit $B^A$ $A \to B$ $f : A \to B$ $f$ $A$ $B$

curry : (A \times B \to C) \to (A \to C^{B})

$\textit{curry}: (A \times B \to C) \to (A \to C^B)$

Nous ne pouvons donc pas vraiment reprocher à quiconque de se confondre ici. L'intérieur

est utilisé au sens interne et l'extérieur à l'extérieur.

curry : C^{A \times B} \to {(C^{B})}^{A} .

$\textit{curry}: C^{A \times B} \to {(C^B)}^A.$

\to

$\to$

$\lambda$ $t$ $B$ $t : B$ $B$ $B$

curry : (A \times B \to C) \to (A \to C^{B})

$\textit{curry}: (A \times B \to C) \to (A \to C^B)$

λ

$\lambda$

curry : ((C^{B})^{A})^{C^{A \times B}} .

$\textit{curry}: ((C^B)^A)^{C^{A \times B}}.$

B^{A}

$B^A$

A \to B

$A \to B$

— Andrej Bauer
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Merci pour la grande réponse, dissipant complètement le mystère.

— jour

En effet! Grande explication!

— Uday Reddy

Alors, qui est interne et qui est externe?

— CMCDragonkai