Gap-3SAT NP est-il complet même pour les formules 3CNF où aucune paire de variables n'apparaît dans beaucoup plus de clauses que la moyenne?

Dans cette question, une formule 3CNF signifie une formule CNF où chaque clause implique exactement trois variables distinctes . Pour un 0 < s <1 constant , Gap-3SAT _s est le problème de promesse suivant:

Gap-3SAT _de
l' instance : A 3CNF formule de φ.
Oui-promesse : φ est satisfaisable.
Pas de promesse : aucune assignation de vérité ne satisfait plus que la fraction s des clauses de φ.

L'une des façons équivalentes d'énoncer le célèbre théorème PCP [AS98, ALMSS98] est qu'il existe une constante 0 < s <1 telle que Gap-3SAT _s est NP-complet.

Nous disons qu'une formule 3CNF est bornée par paire B si chaque paire de variables distinctes apparaît dans la plupart des clauses B. Par exemple, une formule 3CNF ( x ₁ ∨ x ₂ ∨ x ₄ ) ∧ (￢x ₁ ∨￢x ₃ ∨ x ₄ ) ∧ ( x ₁ ∨ x ₃ ∨￢x ₅ ) est paire par 2 mais pas par paire 1 - borné parce que par exemple la paire ( x ₁ , x ₄ ) apparaît dans plus d'une clause.

Question . Faire il existe des constantes B ∈ℕ, un > 0, et 0 < s <1 de telle sorte que l' écart-3SAT _s est NP-complet , même pour une formule 3CNF qui est pairwise B -bounded et se compose d'au moins une ² clauses, où n est le nombre de variables?

La délimitation par paires implique clairement qu'il n'y a que des clauses O ( n ² ). Avec la borne inférieure quadratique du nombre de clauses, il indique grossièrement qu'aucune paire de variables distinctes n'apparaît dans beaucoup plus de clauses que la moyenne.

Pour Gap-3SAT, on sait que le cas clairsemé est difficile : il existe une constante 0 < s <1 telle que Gap-3SAT _s est NP-complet même pour une formule 3CNF où chaque variable apparaît exactement cinq fois [Fei98]. D'un autre côté, le cas dense est facile : Max-3SAT admet un PTAS pour une formule 3CNF avec Ω ( n ³ ) clauses distinctes [AKK99], et donc Gap-3SAT _s dans ce cas est en P pour chaque constante 0 < s <1. La question porte sur le milieu de ces deux cas.

La question ci-dessus s'est posée à l'origine dans une étude de la complexité de calcul quantique, plus spécifiquement des systèmes de preuve interactifs à un tour à deux proverseurs avec des provers entremêlés (systèmes MIP ^* (2,1) ). Mais je pense que la question peut être intéressante en soi.

Les références

[AKK99] Sanjeev Arora, David Karger et Marek Karpinski. Schémas d'approximation du temps polynomial pour une instance dense de problèmes NP-difficiles. Journal of Computer and System Sciences , 58 (1): 193–210, février 1999. http://dx.doi.org/10.1006/jcss.1998.1605

[ALMSS98] Sanjeev Arora, Carsten Lund, Rajeev Motwani, Madhu Soudan et Mario Szegedy. Vérification des preuves et dureté des problèmes d'approximation. Journal de l'ACM , 45 (3): 501–555, mai 1998. http://doi.acm.org/10.1145/278298.278306

[AS98] Sanjeev Arora et Shmuel Safra. Vérification probabiliste des preuves: Une nouvelle caractérisation de NP. Journal de l'ACM , 45 (1): 70–122, janvier 1998. http://doi.acm.org/10.1145/273865.273901

[Fei98] Uriel Feige. Un seuil de ln n pour approximer la couverture d'ensemble. Journal de l'ACM , 45 (4): 634–652, juillet 1998. http://doi.acm.org/10.1145/285055.285059

cc.complexity-theory sat approximation-hardness

— Tsuyoshi Ito
source

@Tsuyoshi: ai-je raison de supposer que l'on ne sait rien des autres cas intermédiaires, entre et ?

m = O (n)

$m = O(n)$

m = Ω (n^{3})

$m = \Omega(n^3)$

— András Salamon,

@ András: Je n'ai pas connaissance de résultats antérieurs sur les cas intermédiaires, mais j'ai ce que je pense être une preuve de l'exhaustivité NP des cas suivants. (1) Clauses

bornées par paire , mais sans espace. (2) Avec un écart, les clauses

pour toute constante d <3, mais pas nécessairement bornées par paires. (3) Avec un espace, borné par paire, clauses

pour toute constante d <2. La preuve de (1) est une simple réduction de [Fei98]. La preuve de (2) utilise une partie du résultat d' Ailon et Alon 2007 . La preuve de (3) utilise des expandeurs.

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

Ω (n^{d})

$\Omega(n^d)$

Ω (n^{d})

$\Omega(n^d)$

— Tsuyoshi Ito

@Tsuyoshi: Au plaisir de lire votre article.

— András Salamon du

Ne pas une réponse mais je voudrais vérifier si les méthodes de certifier qu'une 3CNF aléatoire des clauses m est insatisfiable peut réussir ici pour montrer ce problème est facile, du moins si vous devez le bien - fondé

être près de 7/8. Ces travaux réussissent une fois qu'il existe plus de

clauses et ont été étendus à des modèles semi-aléatoires (voir Feige FOCS 07 sur la réfutation du 3CNF lissé). Cependant, il semble que Tsuyoshi ait montré que même le cas de

ici est toujours NP-difficile, donc cela montre peut-être que ces travaux ne sont pas pertinents.

s

$s$

n^{1.5}

$n^{1.5}$

n^{1.9}

$n^{1.9}$

— Boaz Barak

Boaz, vous pouvez toujours "densifier" une instance de 3SAT en remplaçant chaque variable par

copies, puis en remplaçant chaque clause par

clauses, en remplaçant chaque variable de la clause d'origine par des copies de toutes les manières possibles. Cela vous donne une instance dans laquelle la même fraction de clauses qu'auparavant est satisfaisable, mais vous passez de n variables et m clauses à nM variables et

clauses, donc, sans autre contrainte sur le nombre d'occurrences, vous pouvez garder la solidité

même dans des formules avec

variables et

articles.

M

$M$

M^{3}

$M^3$

m M^{3}

$mM^3$

7 / 8 + ϵ

$7/8 + \epsilon$

N

$N$

N^{2.999}

$N^{2.999}$

— Luca Trevisan

Pas une réponse complète, mais j'espère proche. Ceci est très proche des commentaires de Luca ci-dessus. Je crois que la réponse est qu'au moins il existe des constantes B ∈ℕ, a > 0 et 0 < s <1 telles que Gap-3SAT _s est NP-complet même pour une formule 3CNF qui est par paires B- bornée et se compose de au moins clause , pour toute constante . $an^{2-\epsilon}$ $\epsilon$

La preuve est la suivante. Considérons un GAP-3SAT exemple sur les variables dans lesquelles chaque variable apparaît à la plupart des 5 fois. C'est NP-complet, comme vous le dites dans la question. $_s$ $\phi$ $N$

Maintenant, nous créons une nouvelle instance comme suit: $\Phi$

Pour chaque variable dans , a variables . $x_i$ $\phi$ $\Phi$ $n$ $y_{ij}$
Pour chaque ensemble d'indices , et avec , a une paire de clauses , et . Je les qualifierai de clauses de comparaison car elles garantissent que si elles sont satisfaites. $i$ $a$ $b$ $a\neq b$ $\Phi$ $y_{ia}∨￢y_{ib}∨￢y_{ib}$ $y_{ib}∨￢y_{ia}∨￢y_{ia}$ $y_{ia} = y_{ib}$
Pour chaque clause de agissant sur les variables , et , pour chaque et , contient une clause équivalente, où est remplacé par , est remplacé par et est remplacé par (ici l'addition se fait modulo ). Je les qualifierai de clauses héritées. $\phi$ $x_i$ $x_j$ $x_k$ $a$ $b$ $\Phi$ $x_i$ $y_{ia}$ $x_j$ $y_{jb}$ $x_k$ $y_{k(a+b)}$ $n$

Le nombre total de variables est alors . Remarque a clauses de comparaison et $m = nN$ $\Phi$ $2Nn^2$ clauses héritées, pour un total de $\frac{5}{3}Nn^2$ clauses. En prenanton aet le nombre total de clauses $\frac{11}{3}Nn^2$ $n = N^k$ $m = N^{k+1}$ . On prend, donc. $C = \frac{11}{3}N^{2k+1} = \frac{11}{3}m^{2-\frac{1}{k+1}}$ $k = \epsilon^{-1} - 1$ $C \propto m^{2-\epsilon}$

Ensuite, est délimité par paires 8 (max 2 des clauses de comparaison et 6 des clauses héritées). $\Phi$

Enfin, si n'est pas satisfaisant, alors au moins clauses ne sont pas satisfaites. Maintenant, si pour tout alors au moins clauses ne sont pas satisfaites. Notez que pour satisfaire les clauses non satisfaites dans un ensemble de clauses héritées pour fixe alors l'affectation des variables , $\phi$ $(1-s)N$ $y_{ia} \neq y_{ib}$ $a,b$ $n-1$ $(1-s)N$ $a,b$ $y_{:a}$ et doivent différer d'au moins $y_{:b}$ $y_{:(a+b)}$ positions, laissant au moins $\frac{1-s}{5}N$ comparaison clauses insatisfaisantes. Cela doit être valable pour chaque choix deet, donc au moins $\frac{1-s}{5}N(n-1)$ $a$ $b$ clauses de comparaisondoivent rester insatisfaites au total pour que suffisamment de clauses héritées soient satisfaites. Si toutefois vous regardez l'autre extrême où toutes les clauses de comparaison sont satisfaites, alors $\approx \frac{1-s}{5}Nn^2 = \frac{3(1-s)}{11}C$ clausessont pas satisfaisantes. Il reste donc un écart (bien que réduit) avec $(1-s)Nn^2 = (1-s)m^{\frac{2k+1}{k+1}} = (1-s)C$ . $s' = \frac{4+s}{5}$

Les constantes doivent probablement être revérifiées.

— Joe Fitzsimons
source

Merci, Joe. Désolé si ce n'était pas clair, mais dans cette question, j'exige que les trois variables de chaque clause soient toutes distinctes, et donc les clauses de comparaison telles qu'elles sont écrites ne peuvent pas être utilisées. J'ai une preuve du même fait (délimitées par paire, Ω (n ^ (2 − ε)), avec espace) qui utilise des graphes expanseurs, mais si cela peut être prouvé sans utiliser d'extensions, je suis très intéressé.

— Tsuyoshi Ito

@Tsuyoshi: Ah je vois. En fait, je l'avais initialement prouvé à moi-même avec des variables distinctes, il y a donc un tweek très facile pour le mettre sous la forme que vous voulez. Vous attribuez simplement les clauses de comparaison d'une manière légèrement différente. Au lieu des deux clauses que je vous ai données, vous avez besoin de 4:

y_{i a} \lor ￢ y_{i b} \lor ￢ y_{i (a + b)}

$y_{ia}∨￢y_{ib}∨￢y_{i(a+b)}$

y_{i a} \lor ￢ y_{i b} \lor y_{i (a + b)}

$y_{ia}∨￢y_{ib}∨y_{i(a+b)}$

. Clairement, ceux-ci se réduisent aux mêmes 2 clauses variables qu'avant. Évidemment, cela tweete les constantes, mais cela ne fait aucune autre différence.

￢ y_{i a} \lor y_{i b} \lor ￢ y_{i (a + b)}

$￢y_{ia}∨y_{ib}∨￢y_{i(a+b)}$

￢ y_{i a} \lor y_{i b} \lor y_{i (a + b)}

$￢y_{ia}∨y_{ib}∨y_{i(a+b)}$

— Joe Fitzsimons

Peut-être il y a un moyen de contourner le

facteur en prenant

, bien que la mise en œuvre la plus naïve de ce qui donne des cas qui poussent très légèrement plus vite que polynomiale.

ϵ

$\epsilon$

k = k (n)

$k = k(n)$

— Joe Fitzsimons

Je vérifierai les détails plus en détail plus tard, mais l'idée d'utiliser a, b et (a + b) semble fonctionner. Cela devrait me libérer de traiter explicitement avec les expandeurs. Merci!

— Tsuyoshi Ito

Aucun problème. Heureux d'avoir pu vous aider.

— Joe Fitzsimons