Modifier la distance avec les opérations de déplacement

Motivation: Un co-auteur édite un manuscrit et j'aimerais voir un résumé clair des éditions. Toutes les « diff » -comme outils ont tendance à être inutile si vous êtes à la fois du texte déplacerez (par exemple, la réorganisation de la structure) et faire des modifications locales. Est-il vraiment si difficile de bien faire les choses?

Définitions: Je voudrais trouver la distance de montage minimale, où les opérations autorisées sont:

• opérations "bon marché": ajouter / modifier / supprimer un seul caractère (les opérations Levenshtein habituelles),

• "cher": opérations: déplacer une sous-chaîne vers un nouvel emplacement ( $abcd \mapsto acbd$ pour toutes les chaînes ,$a$$b$ , $c$ , $d$ ).

Étant donné deux chaînes $x$ et $y$ et des entiers $k$ et $K$ , je voudrais résoudre le problème suivant:

• pouvez-vous transformer $x$ en $y$ utilisant au plus $k$ opérations bon marché et au plus $K$ opérations coûteuses?

Des questions:

1. Ce problème a-t-il un nom? (Cela ressemble à une question très standard dans le contexte de l'alignement de séquence.)

2. Est-il difficile?

3. S'il est difficile, est-il traitable à paramètres fixes avec comme paramètre?$K$

4. Existe-t-il des algorithmes d'approximation efficaces? (Par exemple, trouvez une solution avec au plus bon marché et 2 K coûteuses si une solution avec k opérations bon marché et K coûteuses existe.)$2k$$2K$$k$$K$

J'ai essayé de jeter un coup d'œil aux métriques de chaîne répertoriées dans Wikipedia , mais aucune d'entre elles n'avait l'air correcte.

Comme l'a commenté Serge Gaspers, pour le problème est le tri par transpositions$k=0$ , et a été introduit par Bafna et Pevzner en 1995. Sa dureté NP n'a été prouvée qu'en 2010; voir Laurent Bulteau, Guillaume Fertin et Irena Rusu, "Le tri par transposition est difficile" .

Le problème devient plus facile, si l'on considère les suppressions longues et la copie de sous-chaînes au lieu de transpositions. Supposons que nous utilisons l'algorithme de programmation dynamique standard pour éditer le calcul de distance, et qu'une opération coûteuse de longueur augmente la distance de a k + b , pour certaines constantes a , b ≥ 0 . Ces constantes peuvent être différentes pour les suppressions longues et la copie de sous-chaîne.$k$$ak+b$$a,b \ge 0$

Une longue suppression est la suppression d'une sous-chaîne arbitraire de . Les soutenir est facile, si nous les décomposons en deux types d'opérations simples: supprimer le premier caractère (coût a + b ) et étendre la suppression d'un caractère (coût a ). En plus du tableau standard A , où A [ i , j ] est la distance d'édition entre les préfixes x [ 1 … i ] et y [ 1 … j ] , nous utilisons un autre tableau A $x$$a+b$$a$$A$$A[i,j]$$x[1 \dots i]$$y[1 \dots j]$$A_{d}$pour stocker la distance d'édition, lorsque la dernière opération utilisée était une longue suppression. Avec ce tableau, il suffit de regarder , A [ i - 1 , j - 1 ] , A [ i , j - 1 ] et A d [ i - 1 , j ] lors du calcul A [ i , j ] et A $A[i-1,j]$$A[i-1,j-1]$$A[i,j-1]$$A_{d}[i-1,j]$$A[i,j]$ ) . , nous permettant de le faire en O ( $A_{d}[i,j]$$O(1)$

La copie de sous-chaîne signifie l'insertion d'une sous-chaîne arbitraire de dans la chaîne éditée. Comme pour les suppressions longues, nous décomposons l'opération en deux opérations simples: l'insertion du premier caractère et l'extension de l'insertion d'un caractère. Nous utilisons également le tableau A $x$$A_{s}$ pour stocker la distance d'édition entre les préfixes, à condition que la dernière opération utilisée soit la copie de la sous-chaîne.

Faire cela efficacement est plus compliqué qu'avec de longues suppressions, et je ne sais pas si nous pouvons arriver à temps amorti par cellule. Nous construisons un arbre de suffixe pour x , ce qui prend du temps O ( | x | ) , en supposant un alphabet de taille constante. Nous stockons un pointeur sur le nœud d'arbre de suffixe courant dans A s [ i , j - 1 ] , ce qui nous permet de vérifier en temps constant, si nous pouvons étendre l'insertion par le caractère y [ j ] . Si cela est vrai, nous pouvons calculer$O(1)$$x$$O(|x|)$$A_{s}[i,j-1]$$y[j]$ ] en temps constant.$A[i,j]$et $A_{s}[i,j]$

Sinon, , où z est la sous-chaîne insérée qui a été utilisée pour calculer A s [ i , j - 1 ] , n'est pas une sous-chaîne de x . Nous utilisons l'arbre des suffixes pour trouver le suffixe le plus long z ′ de z , pour lequel z ′ y [ j ] est une sous-chaîne de x , dans O ( | z | - | z ′ |$zy[j]$$z$$A_{s}[i,j-1]$$x$$z'$$z$$z'y[j]$$x$$O(|z|-|z'|)$ . Pour calculer , nous devons maintenant regarder les cellules A [ i , j - | z ′ | - 1 ] à A [ i , j - 1 ] . Trouver le suffixe z ' nécessite juste un temps O ( 1 ) amortipar cellule, mais le calcul de A s [ i , j ] avec une approche par force brute prend O ( | $A_{s}[i,j]$$A[i, j-|z'|-1]$$A[i,j-1]$$z'$$O(1)$$A_{s}[i,j]$ temps. Il existe probablement un moyen de le faire plus efficacement, mais je ne le trouve pas pour le moment.$O(|z'|)$

Dans le pire des cas, l'algorithme prend temps, mais une meilleure analyse devrait être possible. La distance d'édition résultante avec de longues suppressions et la copie de sous-chaîne n'est pas symétrique, mais cela ne devrait pas être un problème. Après tout, il est généralement plus facile d'atteindre la chaîne vide à partir d'une chaîne non vide que l'inverse.$O(\min(|x| \cdot |y|^{2}, |x|^{2} \cdot |y|))$