Limite inférieure pour déterminant et permanent


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À la lumière du récent abîme à la profondeur-3 (qui donne entre autres un circuit arithmétique de profondeur profondeur 3 pour le déterminant sur ), J'ai les questions suivantes: Grigoriev et Karpinski ont prouvé une limite inférieure de pour tout circuit arithmétique de profondeur 3 calculant le déterminant de matrices sur des champs finis (ce qui, je suppose, vaut également pour le permanent). La formule de Ryser pour calculer le permanent donne un circuit arithmétique de profondeur 3 de taillen×nC2Ω(n)n×n2nlognn×nC2Ω(n)n×nO(n22n)=2O(n). Cela montre que le résultat est essentiellement serré pour les circuits de profondeur 3 pour les champs permanents sur finis. J'ai deux questions:

1) Existe-t-il une formule de profondeur 3 pour le déterminant analogue à la formule de Ryser pour le permanent?

2) Une borne inférieure de la taille des circuits arithmétiques calculant le polynôme déterminant \ textit {toujours} donne-t-elle une borne inférieure pour le polynôme permanent? (Over ce sont les mêmes polynômes).F2

Bien que ma question concerne actuellement ces polynômes sur des champs finis, j'aimerais également connaître le statut de ces questions sur des champs arbitraires.


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Voilà qui est intéressant .... récemment ( eccc.hpi-web.de/report/2013/026 ) un 2O(n1/2logn) limite supérieure a été prouvé sur les nombres complexes. Il y a donc en quelque sorte une énorme différence dans les champs caractéristiques zéro et finis ...
Ryan Williams

J'aurais dû mentionner le nouveau résultat. Je lisais le document et je voulais savoir ce qui peut être déduit des résultats connus pour le cas du champ fini. Met à jour la question pour inclure le document.
Nikhil

Existe-t-il une limite similaire / quelconque connue pour le déterminant / permanent dans le cas de circuits de profondeur 3 sur des champs de caractéristique zéro?
Gorav Jindal

Au-dessus du zéro caractéristique, AFAIK, la meilleure borne inférieure est pour la fonction symétrique élémentaire (et aussi le polynôme déterminant) due à Shpilka et Wigderson. Vérifiez cs.technion.ac.il/~shpilka/publications/…Ω(n2)
Nikhil

Réponses:


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Permanent est complet pour VNP sous p-projections sur n'importe quel champ non de caractéristique 2. Ceci fournit une réponse positive à votre deuxième question. Si cette réduction était linéaire, cela donnerait une réponse positive à votre première question, mais je pense que cela reste ouvert.

Plus en détail: il existe un polynôme tel que d e t n ( X ) est une projection de p e r m q ( n ) ( Y ) , c'est-à-dire qu'il existe une certaine substitution envoyant chaque variable y i j soit à une variable x k ou une constante telle qu'après cette substitution, le q ( n ) × q ( n ) permanent calcule le nq(n)detn(X)permq(n)(Y)yijxkq(n)×q(n) déterminant.n×n

1) Ainsi, la formule de Ryser donne une formule de profondeur 3 (la profondeur n'augmente pas sous les projections car les substitutions peuvent être effectuées sur les portes d'entrée) de taille pour le déterminant. MISE À JOUR : Comme @Ramprasad le souligne dans les commentaires, cela ne donne quelque chose de non trivial que si q ( n ) = o ( n log n ) , car il existe une formule triviale de profondeur 2 de taille n n ! = 2 O ( n log n )2O(q(n))q(n)=o(nbûchen)nn!=2O(nbûchen)pour det. Je suis avec Ramprasad en ce que le mieux que je sache est la réduction par les ABP, qui donne .q(n)=O(n3)

2) Si le permanent peut être calculé - encore une fois, sur un champ de caractéristique différent de 2 - par un circuit de taille s ( m ) , alors le déterminant n × n peut être calculé par un circuit de taille s ( q ( n ) ) . Donc, une borne inférieure de b ( n ) sur la taille du circuit pour d e t n donne une borne inférieure de b ( q - 1 ( n ) ) sur la taille du circuit pour le permanent (c'estm×ms(m)n×ns(q(n))b(n)etnb(q-1(n)) inverse, pas 1 / q ( n ) ). Mentionné ci-dessus q ( n ) = O ( n 3 ) donne un b ( n une / 3 ) perm limite inférieurepartirun b ( n ) DET borne inférieure.q 1/q(n)q(n)=O(n3)b(n1/3)b(n)


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Je veux juste souligner que le déterminant étant une projection d'un permanent polynomialement plus grand ne donne pas grand-chose. Le déterminant a bien sûr un trivial ! circuit de taille. Donc, même montrer que le déterminant n × n est une projection d'un n 2 × n 2 permanent ne donne rien de non trivial via la formule de Ryser. Je suppose que pour votre stratégie de preuve, il faut montrer que le q ( n ) = O ( n ) , mais je ne vois pas comment obtenir cela à partir de la réduction habituelle. AFAIK, pas de circuit de profondeur 3 asymptotiquement plus petit que n !n!n×nn2×n2q(n)=O(n)n!est connu pour le déterminant sur les champs finis.
Ramprasad

@Ramprasad: Il y a une projection de à P E R M O ( n ) dans le cas général sur des champs arbitraires non? Donc, la mise en œuvre de cette réduction de profondeur-3 est l'obstacle - c'est ce que vous voulez dire? ETnPERMO(n)
Nikhil

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@Nikhil: Existe-t-il une telle projection?! Si cela était vrai, alors bien sûr nous immédiatement avons circuit profondeur 3 pour le déterminant en utilisant simplement la formule de Ryser (qui n'a pas été connu avant le résultat gouffre-à-profondeur-3). La seule réduction que je connaisse est de prendre l'ABP pour le déterminant (qui est de taille O ( n 3 ) ) et de l'écrire comme une projection d'un permanent de taille O ( n 3 ) . Je serais très surpris d'une réduction des cales permanentes de taille O ( n ) . 2O(n)O(n3)O(n3)O(n)
Ramprasad du

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Je suis assez sûr que c'est une faute de frappe / erreur dans l'article (mais je vérifierai avec Manindra cependant). Le discours d' Avi Wigderson (PPT) lors des célébrations du 60e anniversaire de Valiant est l'un des endroits où il a été déclaré que l'amélioration de car la complexité en profondeur 3 du déterminant était inconnue. Les circuits de profondeur 3 sur des champs finis sont un exemple curieux où la meilleure borne supérieure pour le permanent est plus petite que le déterminant! n!
Ramprasad


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Il est très possible que le déterminant soit, en quelque sorte, plus dur que le permanent. Ce sont deux polynômes, le Waring Rank (sommes de n puissances de formes linéaires) du permanent est à peu près 4 ^ n, Chow Rank (sommes de produits de formes linéaires) est à peu près 2 ^ n. Clairement, Waring Rank \ leq 2 ^ {n-1} Chow Rank. Pour le déterminant, ces nombres ne sont que des bornes inférieures. D'un autre côté, j'ai prouvé il y a quelque temps que le rang de Waring du déterminant est borné par (n + 1)! et cela pourrait être proche de la vérité.


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J'ai retiré la publicité.
Jeffε

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Pouvez-vous donner la référence de la preuve?
Kaveh
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