Limite inférieure pour déterminant et permanent

À la lumière du récent abîme à la profondeur-3 (qui donne entre autres un circuit arithmétique de profondeur profondeur 3 pour le déterminant sur ), J'ai les questions suivantes: Grigoriev et Karpinski ont prouvé une limite inférieure de pour tout circuit arithmétique de profondeur 3 calculant le déterminant de matrices sur des champs finis (ce qui, je suppose, vaut également pour le permanent). La formule de Ryser pour calculer le permanent donne un circuit arithmétique de profondeur 3 de taillen×nC2Ω(n)n×$2^{\sqrt{n}\log{n}}$$n \times n$$\mathbb{C}$$2^{\Omega{(n)}}$$n \times n$$O(n^2 2^n) = 2^{O(n)}$. Cela montre que le résultat est essentiellement serré pour les circuits de profondeur 3 pour les champs permanents sur finis. J'ai deux questions:

1) Existe-t-il une formule de profondeur 3 pour le déterminant analogue à la formule de Ryser pour le permanent?

2) Une borne inférieure de la taille des circuits arithmétiques calculant le polynôme déterminant \ textit {toujours} donne-t-elle une borne inférieure pour le polynôme permanent? (Over ce sont les mêmes polynômes).$\mathbb{F}_2$

Bien que ma question concerne actuellement ces polynômes sur des champs finis, j'aimerais également connaître le statut de ces questions sur des champs arbitraires.

Permanent est complet pour VNP sous p-projections sur n'importe quel champ non de caractéristique 2. Ceci fournit une réponse positive à votre deuxième question. Si cette réduction était linéaire, cela donnerait une réponse positive à votre première question, mais je pense que cela reste ouvert.

Plus en détail: il existe un polynôme tel que d e t n ( X ) est une projection de p e r m q ( n ) ( Y ) , c'est-à-dire qu'il existe une certaine substitution envoyant chaque variable y i j soit à une variable x k ℓ ou une constante telle qu'après cette substitution, le q ( n ) × q ( n ) permanent calcule le $q(n)$$det_n(X)$$perm_{q(n)}(Y)$$y_{ij}$$x_{k\ell}$$q(n) \times q(n)$ déterminant.$n \times n$

1) Ainsi, la formule de Ryser donne une formule de profondeur 3 (la profondeur n'augmente pas sous les projections car les substitutions peuvent être effectuées sur les portes d'entrée) de taille pour le déterminant. MISE À JOUR : Comme @Ramprasad le souligne dans les commentaires, cela ne donne quelque chose de non trivial que si q ( n ) = o ( n log n ) , car il existe une formule triviale de profondeur 2 de taille n ⋅ n ! = 2 O ( n log n $2^{O(q(n))}$$q(n) = o(n \log n)$$n \cdot n! = 2^{O(n \log n)}$pour det. Je suis avec Ramprasad en ce que le mieux que je sache est la réduction par les ABP, qui donne .$q(n)=O(n^3)$

2) Si le permanent peut être calculé - encore une fois, sur un champ de caractéristique différent de 2 - par un circuit de taille s ( m ) , alors le déterminant n × n peut être calculé par un circuit de taille s ( q ( n ) ) . Donc, une borne inférieure de b ( n ) sur la taille du circuit pour d e t n donne une borne inférieure de b ( q - 1 ( n ) ) sur la taille du circuit pour le permanent (c'est$m \times m$$s(m)$$n \times n$$s(q(n))$$b(n)$$det_n$$b(q^{-1}(n))$ inverse, pas 1 / q ( n ) ). Mentionné ci-dessus q ( n ) = O ( n 3 ) donne un b ( n une / 3 ) perm limite inférieurepartirun b ( n ) DET borne inférieure.$q$ $1/q(n)$$q(n)=O(n^3)$$b(n^{1/3})$$b(n)$

Il est très possible que le déterminant soit, en quelque sorte, plus dur que le permanent. Ce sont deux polynômes, le Waring Rank (sommes de n puissances de formes linéaires) du permanent est à peu près 4 ^ n, Chow Rank (sommes de produits de formes linéaires) est à peu près 2 ^ n. Clairement, Waring Rank \ leq 2 ^ {n-1} Chow Rank. Pour le déterminant, ces nombres ne sont que des bornes inférieures. D'un autre côté, j'ai prouvé il y a quelque temps que le rang de Waring du déterminant est borné par (n + 1)! et cela pourrait être proche de la vérité.