Graphes dans lesquels chaque séparateur minimal est un ensemble indépendant

Contexte: Soit $u, v$ deux sommets d'un graphe non orienté . Un ensemble de sommets est un séparateur si et appartiennent à différents composants connectés de . Si aucun sous-ensemble correct d'un séparateur est un séparateur, alors est un séparateur minimal. Un ensemble de sommets est un séparateur (minimal) s'il existe des sommets tels que est un séparateur (minimal) .$G=(V,E)$$S\subseteq V$$u,v$$u$$v$$G-S$$u,v$$S$$u,v$$S$$u,v$$S\subseteq V$$u, v$$S$$u,v$

Un théorème bien connu de G. Dirac déclare qu'un graphe n'a pas de cycles induits de longueur au moins quatre (appelé graphe triangulé ou corde) si et seulement si chacun de ses séparateurs minimaux est une clique. Il est également bien connu que les graphes triangulés peuvent être reconnus en temps polynomial.

Mes questions: Quels sont les graphiques dans lesquels chaque séparateur minimal est un ensemble indépendant? Ces graphiques sont-ils étudiés? Et quelle est la complexité de reconnaissance de ces graphiques? Les exemples de tels graphiques incluent les arbres et les cycles.

Vos graphiques ont été caractérisés par cet article http://arxiv.org/pdf/1103.2913.pdf .

Edit: Dans l'article ci-dessus, il est prouvé que les graphiques dans lesquels chaque séparateur minimal est un ensemble indépendant sont exactement ceux ne contenant aucun cycle avec exactement un accord.

Les graphiques ne contenant aucun cycle avec exactement un accord ont été étudiés en profondeur par Trotignon et Vuskovic, A Structure Theorem for Graphs with No Cycle with a Unique Chord and Its Consequences , J.Graph Theory 63 (2010) 31-67 DOI . À la suite de cet article, ces graphiques peuvent être reconnus en temps polynomial. (Cependant, ce document n'a pas souligné la connexion à des séparateurs minimaux indépendants!)

Edit (17 septembre 2013): Très récemment (voir ici ), Terry Mckee décrit tous les graphiques dans lesquels chaque séparateur de sommet minimal est une clique ou un ensemble indépendant. Il s'avère que ce sont les `` sommes de bord '' des graphiques en accords et des graphiques dans lesquels chaque séparateur de sommet minimal est un ensemble indépendant.

Apparemment, la première caractérisation des graphiques dans lesquels chaque séparateur minimal est un ensemble indépendant est apparue dans TA McKee, "Independent separator graphs", Utilitas Mathematica 73 (2007) 217--224. Ce sont précisément les graphiques dans lesquels aucun cycle n'a un accord unique (ou, de manière équivalente, dans lequel, dans chaque cycle, chaque accord a un accord croisé).

Il y a deux nouveaux articles sur des graphes sans cycle ayant exactement un accord. Les deux concernent principalement la coloration de ces graphiques: http://arxiv.org/abs/1309.2749 et http://arxiv.org/abs/1311.1928 .

Ce dernier donne également un algorithme de reconnaissance . Mais un O plus rapide dans le temps ( m n ) est déjà fourni dans l'article de Trotignon et Vuskovic (cité en réponse par l'utilisateur 13136).$O(m^2n)$$O(mn)$