Théorème de Schaefer et CSP de largeur illimitée

Le théorème de dichotomie de Schaefer montre que chaque problème de CSP sur est soit résoluble en temps polynomial, soit NP-complet. Cela s'applique uniquement aux problèmes CSP de largeur limitée, à l'exclusion de SAT et Horn-SAT, par exemple. Les problèmes CSP généraux de largeur illimitée peuvent être très difficiles (même non calculables), alors limitons-nous aux problèmes qui sont "naturels" et qui sont en NP.$\{0,1\}$

Étant donné un problème CSP de largeur illimitée, pour chaque , nous pouvons regarder la restriction du problème aux clauses de largeur jusqu'à k . Le théorème de Schaefer s'applique maintenant, et le problème restreint est soit en P soit en NP-complet. Si pour certains k , le problème k- restreint est NP-complet, alors le problème non restreint l'est aussi. La situation est moins claire quand pour tout k , le problème k- restreint est en P.$k$$k$$k$$k$$k$$k$

Le théorème de dichotomie de Schaefer repose sur quatre (ou plus) algorithmes différents qui résolvent tous les cas faciles. Supposons que pour un problème CSP donné, le problème à restriction est toujours résoluble par l'algorithme A. Il se peut que l'algorithme A puisse également être utilisé pour résoudre le problème sans restriction. Ou il se peut que l'algorithme A ne soit pas un temps polynomial dans le cas sans restriction, et nous ignorons alors la dureté du problème.$k$

Ce type de problème a-t-il été envisagé? Y a-t-il des exemples dans lesquels nous arrivons à l'endroit «ignorant»?

Je prétends que pour un «CSP booléen naturel», si la version k- restreinte est en P pour chaque k , alors la version non restreinte est également en P. Je définirai un «CSP booléen naturel» ci-dessous.

Le théorème de Schaefer déclare que le CSP booléen sur un ensemble fini S de relations est dans P si au moins une des conditions suivantes est satisfaite et il est NP-complet si aucune d'entre elles n'est satisfaite:

1. Chaque relation dans S (à l'exception de la constante 0) est satisfaite en affectant 1 à toutes ses variables.
2. Chaque relation dans S (à l'exception de la constante 0) est satisfaite en affectant 0 à toutes ses variables.
3. Chaque relation dans S est équivalente à une formule 2-CNF.
4. Chaque relation dans S est équivalente à une formule de clause de Horn.
5. Chaque relation dans S est équivalente à une formule à double clause de Horn. (Une «formule à double clause Horn» signifie une formule CNF où chaque clause contient au plus un littéral positif.)
6. Chaque relation dans S est équivalente à une conjonction de clauses affines.

Supposons maintenant que P ≠ NP, et considérons le cas où S est infini. Si la version k restreinte est en P pour chaque k , alors par le théorème de Schaefer, chaque sous-ensemble fini de S satisfait au moins une des six conditions ci-dessus, et cela signifie que l'ensemble S satisfait à au moins une des six conditions. Est-ce à dire que ce CSP sans restriction sur l'arité est également en P? Pas encore.

Lorsque S est infini, nous devons spécifier comment chaque clause de la formule d'entrée est donnée. Nous partons du principe qu'il ya une application surjective de {0,1} ^* à S , qui spécifie le codage des relations dans S . Un CSP booléen est spécifié en donnant à la fois S et cette fonction de codage.

Notez que dans chacun des cas 3, 4, 5 et 6 ci-dessus, il existe un moyen naturel de représenter des relations satisfaisant à la condition: une formule 2-CNF dans le cas 3, une formule de clause Horn dans le cas 4, etc. Même si une relation est équivalente (disons) à une formule 2-CNF, rien ne garantit a priori que son codage donne un accès facile à la formule 2-CNF qui lui est équivalente.

Maintenant, nous disons qu'un CSP booléen est naturel lorsque sa fonction de codage satisfait les points suivants:

• Étant donné un codage d'une relation et une affectation à toutes ses variables, le fait que la relation soit satisfaite ou non peut être calculé en temps polynomial. (Remarque: cela garantit que le CSP en question est toujours en NP.)
• Étant donné un codage d'une relation satisfaisant aux conditions 3, 4, 5 ou 6, sa représentation naturelle telle que spécifiée ci-dessus peut être calculée en temps polynomial.

Ensuite, il est facile de voir que si S satisfait à l'une des six conditions ci-dessus et que le codage pour S satisfait à cette condition de «naturalité», alors nous pouvons appliquer l'algorithme correspondant. L'affirmation que j'ai énoncée au début peut être prouvée en considérant à la fois le cas de P = NP et le cas de P ≠ NP.