Jeux Ehrenfeucht-Fraïssé (Ajtai-Fagin en fait) pour les langues régulières.

Immerman (Descriptive Complexity, 1999) présente les jeux EF pour le second ordre existentiel monadique (jeux Ajtai-Fagin) à la page 127. Comme MSO sur les mots est équivalent aux langues normales, le jeu peut être écrit comme suit. $\exists$

Une langue est régulière si et seulement si Delilah n'a pas de stratégie gagnante dans le jeu suivant: 1. Samson choisit , 2. Delilah choisit , 3. Samson choisit sous-ensembles de l'ensemble des positions dans (ie $L \subseteq \{a, b\}^*$
$c, m \in \mathbb{N}$
$w \in L$
$c$ $C_1^w, \ldots, C_c^w$ $w$ $\{0, \ldots, |w|-1\}$ ),
4. Delilah chosses et sous-ensembles de l'ensemble des positions en , 5. Samson et Delilah jouent le jeu EF -turn sur et $v \not\in L$ $c$ $C_1^v, \ldots, C_c^v$ $v$
$m$ $(\mathfrak{S}(w), C_1^w, \ldots, C_c^w)$ , oùest la structure associée au mot, c'est-à-dire: avec $(\mathfrak{S}(v), C_1^v, \ldots, C_c^v)$
$\mathfrak{S}(w)$ $w$

S (w) = ⟨ {0, \dots, | w | - 1}, S U C C, Q_{a}, Q_{b} ⟩

$\mathfrak{S}(w) = \langle \{0, \ldots, |w|-1\}, SUCC, Q_a, Q_b \rangle$

, et

est le prédicat successeur binaire.

Q_{l} = {p | w_{p} = l}

$Q_l = \{p \;|\; w_p = l\}$

S U C C

$SUCC$

J'ai deux questions:
- Comment montre-t-on que n'est pas régulier, en utilisant un argument EF comme celui-ci, - Est-il plus facile / plus difficile de jouer à ces jeux (pour montrer la non-régularité) quand on a un ordre plutôt que la relation successeur? (Ceux-ci sont équivalents dans MSO existentiel). $\{a^nb^n \;|\; n \in \mathbb{N}\}$

lo.logic automata-theory descriptive-complexity

— Michaël Cadilhac
source

$c$ $m$ $w = a^n b^n$ $n$ $C^w_1,\ldots,C^w_c$ $w$ $2^c$ $w'$ $w'[i,\ldots,j]$ $w'$ $r$ $t$

$0 \leq i \leq j \leq n$ $w'$
$r$ $r$ $i$ $j$ $w'$
$k \in [i,\ldots,j]$ $r$ $k$ $w'$ $r$ $t$ $w'$

v^{'} = w^{'} [0, \dots, i - 1] w^{'} [i, \dots, j]^{2} w^{'} [j + 1, \dots, 2 n - 1] .

$v' = w'[0,\ldots,i-1] w'[i,\ldots,j]^2 w'[j+1,\ldots,2n-1].$

v

$v$

a, b

${a,b}$

v^{'}

$v'$

v

$v$

L

$L$

a

$a$

m

$m$

w^{'}

$w'$

v^{'}

$v'$

r

$r$

t

$t$

c

$c$

m

$m$

$n$ $c$ $m$ $r$ $t$ $w'[i,\ldots,j]$ $r$

Cela a fonctionné pour les structures successives. Avec un ordre linéaire, ce sera un peu plus difficile mais je n'y ai pas beaucoup réfléchi.

Notez que, sans surprise, cet argument ressemble un peu à l'argument "pompage" dans les automates. Cependant, ce n'est pas aussi stupide que de simplement traduire la formule en automate. Je pense que cela compte comme un argument de théorie des modèles.

— slimton
source

Ma réponse ne vous convainc-elle pas?

— slimton

Oups, désolé, bien sûr. Bien que je serais vraiment intéressé de voir ce que ce serait avec un ordre linéaire (et donc sans la localité de Hanf). Merci pour cette réponse!

— Michaël Cadilhac