Le plus petit ensemble non inclus dans une collection d'ensembles

Etant donné que l' entrée d' un nombre entier et un ensemble S d'ensembles d'éléments de { 1 , . . . , N } , quelle est la complexité de trouver un ensemble T d'éléments de { 1 , . . . , n } tel que T a une cardinalité minimale et T n'est inclus dans aucun des ensembles de S ?$n$$S$$\{1, ..., n\}$$T$$\{1, ..., n\}$$T$$T$$S$

Soit , et que F = { S 1 , S 2 , … , S m } ⊆ 2 [ n ] soit la famille d'ensemble d'entrée. Sauf si j'ai mal compris la formulation de votre problème, nous voulons trouver un ensemble de taille minimale T ⊆ [ n ] tel que T ⊈ S i pour tout i = 1 , $[n] = \{ 1, 2, \dotsc, n \}$$\mathcal{F} = \{S_1, S_2, \dotsc, S_m \} \subseteq 2^{[n]}$$T \subseteq [n]$$T \not\subseteq S_i$ .$i = 1, 2, \dotsc, m$

Pour répondre à votre question, notez que si et seulement si T ∩ ( [ n ] ∖ S i ) ≠ ∅ . C'est,$T \not\subseteq S_i$$T \cap ([n] \setminus S_i) \not= \emptyset$ doit couper le complément de chaque S i . Mais cela signifie que votre problème est, pour l'essentiel, équivalent au problème de l'ensemble de frappe (considérez l'ensemble de frappe avec l'entrée G = { [ n ] ∖ S i : i = 1 , 2 , … , m } ):$T$$S_i$$\mathcal{G} = \{ [n] \setminus S_i \ \colon \ i = 1, 2, \dotsc, m \}$

Jeu de frappe. Étant donné une famille définie $\mathcal{F} \subseteq 2^{[n]}$ et un entier , existe-t-il un ensemble T ⊆ [ n ] avec | T | ≤ k et T ∩ S ≠ ∅ pour tout S ∈ F ?$k$$T \subseteq [n]$$|T| \le k$$T \cap S \not= \emptyset$$S \in \mathcal{F}$

Le jeu de frappe est connu pour être NP-complet et ne peut pas, en gros, être résolu plus rapidement qu'en temps moins que l'hypothèse de temps exponentiel fort échoue.$O(2^n)$

Le problème est équivalent au problème de jeu de couverture / problème de jeu de frappe:

Étant donné une famille $\cal F$ de sous - ensembles de , trouver un ensemble T ⊂ { 1 , ... , n } de la taille minimale possible qui coupe tout ensemble dans la famille F .$\{1,\dots, n\}$$T \subset \{1,\dots, n\}$$\cal F$

Votre problème est équivalent au problème de l'ensemble de frappes puisque ne se trouve dans aucun ensemble de S si et seulement s'il recoupe chaque ensemble de F = { ˉ A : A ∈ S } . (Donc, pour résoudre une instance du problème Hitting Set, il suffit de résoudre l'instance de votre problème avec S = { ˉ A : A ∈ F } .)$T$$S$${\cal F} = \{\bar A: A\in S\}$$S = \{\bar A: A\in {\cal F}\}$

Le problème Hitting Set est NP-hard [Karp '72]. Il existe un algorithme d'approximation et une dureté de résultat d'approximation correspondante [Lund, Yannakakis '94, Feige '98].$O(\log n)$