Résultats de complexité pour les fonctions récursives élémentaires inférieures?

Intrigué par la question intéressante de Chris Pressey sur les fonctions élémentaires-récursives , j'explorais davantage et je n'arrivais pas à trouver une réponse à cette question sur le web.

Les fonctions récursives élémentaires correspondent bien à la hiérarchie exponentielle, . $\text{DTIME}(2^n) \cup \text{DTIME}(2^{2^n}) \cup \cdots$

Il semble simple de la définition que les problèmes de décision décidables (terme?) Par des fonctions élémentaires inférieures devraient être contenus dans EXP, et en fait dans DTIME ; ces fonctions sont également contraintes de produire des chaînes de sortie linéaires dans leur longueur d'entrée [1]. $(2^{O(n)})$

Mais d'un autre côté, je ne vois aucune limite inférieure évidente; à première vue, il semble concevable que LOWER-ELEMENTARY puisse contenir strictement NP, ou peut-être ne pas contenir certains problèmes dans P, ou très probablement une possibilité que je n'ai pas encore imaginée. Ce serait vraiment cool si LOWER-ELEMENTARY = NP mais je suppose que c'est trop demander.

Alors mes questions:

Jusqu'à présent, ma compréhension est-elle correcte?
Que sait-on des classes de complexité délimitant les fonctions récursives élémentaires inférieures?
(Bonus) Avons-nous de belles caractérisations de classe de complexité lors de nouvelles restrictions sur les fonctions récursives? Je pensais en particulier à la restriction aux sommations délimitées par , qui je pense s'exécutent en temps polynomial et produisent une sortie linéaire; ou des sommations à limites constantes, qui, je pense, fonctionnent en temps polynomial et produisent une sortie de longueur au plus . $\log(x)$ $n + O(1)$

[1]: On peut montrer (je crois) que les fonctions élémentaires inférieures sont soumises à ces restrictions par induction structurelle, en supposant que les fonctions ont une complexité et des sorties de longueur de bit sur une entrée de longueur . Lorsque $h,g_1,\dots,g_m$ $2^{O(n)}$ $O(n)$ $n$ $f(x) = h(g_1(x),\dots,g_m(x))$ , Laissant , chaque a une sortie de longueur , de sorte que a une d'entrée -longueur (et donc sortie -longueur); la complexité du calcul de tous les s est et de est , donc a la complexité $n := \log x$ $g$ $O(n)$ $h$ $O(n)$ $O(n)$ $g$ $m2^{O(n)}$ $h$ $2^{O(n)}$ $f$ $2^{O(n)}$ et sortie de longueur selon la revendication. $O(n)$

Lorsque , les s ont des sorties de longueur , donc la valeur de la somme des sorties est , donc leur somme a une longueur . La complexité de la somme de ces valeurs est limitée par (le nombre de sommations) fois $f(x) = \sum_{i=1}^x g(x)$ $g$ $O(n)$ $2^n 2^{O(n)} \in 2^{O(n)}$ $O(n)$ $2^n$ (la complexité de chaque addition) donnant , et la complexité du calcul des sorties est limitée par (le nombre de calculs) fois (la complexité de chacun), donnant . Donc a une complexité et une sortie de longueur comme revendiqué. $O(n)$ $2^{O(n)}$ $2^{n}$ $2^{O(n)}$ $2^{O(n)}$ $f$ $2^{O(n)}$ $O(n)$

— usul
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L'article de Wikipédia que vous liez indique que les fonctions élémentaires inférieures ont une croissance polynomiale (mais cela ne donne aucune référence). Il ne semble pas, à première vue, impossible de simuler une machine de Turing pour n étapes - peut-être une somme bornée correspondant au nombre d'étapes d'une autre somme bornée correspondant à chaque transition d'état?

— Chris Pressey

@Chris - Je suppose que la "croissance polynomiale" fait référence au nombre de bits dans la sortie qui n'est pas plus que linéaire dans le nombre de bits dans l'entrée. Je suis d'accord que la simulation semble très plausible et semble faisable en temps polynomial (mais pourrait prendre quelques détails pour le vérifier!).

— usul

Désolé, cette première partie n'est peut-être pas claire, mais c'est parce qu'à l'entrée de la valeur

la sortie a une valeur au plus polynomiale dans

x

$x$

x

$x$

— usul

Concernant la question 3: les fonctions définissables dans la variante à sommation bornée

sont toutes dans la classe de complexité uniforme

. Avec une sommation bornée constante, vous obtenez une sous-classe d'uniforme

\log (x)

$\log(x)$

{T C}^{0}

$\mathsf{TC}^0$

{A C}^{0}

$\mathsf{AC}^0$

— Jan Johannsen

@Xoff Je crois que tout est dans la sommation: Nous sommons de

, où (sur une entrée de

bits)

peut avoir une taille

, donc notre somme sera

fois la taille de chaque sommet.

1

$1$

x

$x$

n

$n$

x

$x$

2^{n}

$2^n$

2^{n}

$2^n$

— usul

Concernant la question (bonus) 3: les fonctions définissables dans la variante à sommation bornée sont toutes dans la classe de complexité uniforme . Cela découle de la construction à Chandra, Stockmeyer et Vishkin "Constant depth reductibility", SIAM J. Comput. 13 (1984) montrant que la somme de nombres de bits chacun peut être calculée par des circuits à profondeur constante de taille poynomiale avec des portes majoritaires. $\log(x)$ $\mathsf{TC}^0$ $n$ $n$

Avec une sommation bornée constante, vous obtenez une sous-classe d'uniforme . La sommation bornée constante peut être réduite à l'addition et à la composition, et l'addition peut être calculée par des circuits booléens à profondeur constante en utilisant la méthode de l'anticipation de portage. $\mathsf{AC}^0$

— Jan Johannsen
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"Les fonctions élémentaires inférieures sont dans EXP " est correct. Ils sont en fait dans DPSPACE ( n ); comme on peut le voir par exemple par induction structurelle.
Il est montré ici [1] que la satisfiabilité booléenne SAT se situe dans le niveau le plus bas E ₀ de la hiérarchie de Grzegorczyk, c'est-à-dire avec une récursion bornée au lieu d'une sommation bornée.

[1] Cristian Grozea: les prédicats NP calculables au niveau le plus faible de la hiérarchie de Grzegorczyck (sic!). Journal of Automata, Languages and Combinatorics 9 (2/3) : 269-279 (2004).

L'idée de base est de coder la formule donnée de longueur binaire n en un entier N de valeur à peu près exponentielle en n ; puis exprimer l'existence d'une affectation satisfaisante en termes de quantification délimitée par ledit N (plutôt que n ).

Cette méthode semble porter au- dessus de E ₀ à Lower primaire
(et de généraliser de SAT à QBF _k pour arbitraire mais fixe k ).

Cela n'implique pas que E ₀ contienne NP (ou même P d'ailleurs), car les calculs de polytime sont connus pour laisser E ₂ .

— Martin Ziegler
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