L'état de l'art pour le système de tournesol

Je m'intéresse au système de tournesol et à ses applications en informatique.

Étant donné un univers et une collection de ensembles est appelé un système k-tournesol si pour tout . Et est appelé noyau et est appelé pétales. $U$ $k$ $A_i$ $A_i \cap A_j = Y$ $i \neq j$ $Y$ $A_i - Y$

Une famille d'ensembles est appelée -uniforme si tous les ensembles qu'elle contient possèdent des éléments . $F$ $s$ $s$

Erdos et prouvé que pour Rado une famille uniforme des ensembles , doit contenir un -sunflower pétales de système si . $s$ $F$ $F$ $k$ $|F| > s!(k-1)^s$

Ce résultat est appelé la lemme du tournesol et a de nombreuses applications importantes.

Erdos conjecturé que pour chaque il existe une constante telle que la limite supérieure devrait être chaque famille -uniform . (La conjecture de tournesol) $k$ $c_k$ $c_k^s$ $s$ $F$

Malheureusement, cette conjecture est toujours ouverte pour . $k=3$

Voici ce que je veux savoir.

Si nous limitons le nombre d'éléments dans l'univers Supposons= . Ensuite, le problème se révèle être: $U$ $|U|$ $u$

Étant donné un univers avec éléments, et la famille -uniforme d'ensembles contenant les éléments dans , nous que nous pouvons trouver une séquence de constantes , , , ... telle que chaque famille uniforme contient une fleur tournesol système si et . $u$ $s$ $F$ $U$ $c_1$ $c_2$ $c_3$ $s$ $F$ $3$ $|F|>$ $c_i^s$ $|U|=i$

De plus, si nous pouvions prouver que la séquence converge vers une constante , alors il semble que nous pouvons prouver la conjecture du tournesol. $c_i$ $c$

Mais je ne trouve pas un tel résultat. Il se peut que cette approche soit trop stupide ou trop dure.

Quelqu'un pourrait-il fournir l'état de l'art du lemme de tournesol et la conjecture (la version finie est également OK).

En voici quelques-unes que je peux vous fournir. Il y a un chapitre dans le livre de Junka The Extremal Combinatorics.

Le papier ci-dessus est une de ses applications (version finie)

Sur les tournesols et la multiplication matricielle N Alon et.al

co.combinatorics set-theory

— Yao Wang
source

il ne semble pas y avoir beaucoup de travail direct à part les nouvelles applications et les articles récents que vous citez, ce qui pourrait augmenter l'intérêt et est probablement le meilleur endroit pour commencer pour les références (et le livre de juknas est également imbattable). voici un joli résumé des interconnexions par kalai sur son blog

— vzn

je pense avoir un qui dépend derend le problème trivial, car vous pouvez définir . aussi mon impression est que le fait de ne pas dépendre deest la chose intéressante à propos du lemme

c_{i}

$c_i$

i = | U |

$i = |U|$

c_{i} = 2^{i}

$c_i = 2^i$

| U |

$|U|$

— Sasho Nikolov

@SashoNikolov. Merci pour la réponse Oui, ce que nous voulons, c'est ne pas dépendre de. mais si nous avons, Alors nous pouvons construire explicitement la famille maximale . Ce que je me demande, c'est si ce bâtiment explicite pouvait montrer quelque chose d'intéressant pour le problème. Par exemple, pouvons-nous trouver une famille avec qui ne contient toujours pas de système de tournesol. J'ai essayé de construire une telle famille maximale, mais cela semble si difficile. Je ne peux pas faire d'autre famille maximale plus grande que l'exemple du livre de Junka (Cha7).

| U |

$|U|$

| U |

$|U|$

F

$F$

2^{i - ϵ}

$2^{i-\epsilon}$

— Yao Wang

brièvement, je demande si nous pouvons améliorer la borne inférieure.

— Yao Wang

la conjecture de tournesol d'Erdos semble être très difficile après maintenant plus d'un demi-siècle (!) d'ouverture. vous avez déjà énuméré quelques-unes des meilleures références et les plus récentes sur le sujet qui seraient très difficiles à battre (article récent d'Alons, livre de Juknas sur la combinatoire). le document Alon est très remarquable pour avoir récemment lié la conjecture aux limites inférieures de la multiplication matricielle, un domaine qui a connu une avancée révolutionnaire récente dans les résultats de Williams. [4]

vous pouvez trouver un traitement supplémentaire, principalement des applications à la théorie des circuits extrêmes (limites inférieures du circuit découvertes par Razborov et étendues par d'autres), dans le livre exceptionnel de Jukna [1].

une référence récente notable / apparentée dans ce sens apparemment pas si connue ou citée jusqu'à présent est [2] de Rossman avec une nouvelle direction d'application (graphiques aléatoires Erdos-Renyi sur des circuits monotones) et qui prouve résultats étendus et / ou plus forts sur les tournesols "quasi". l'article est le résultat de sa thèse de doctorat [3]. du résumé papier

Nous introduisons une nouvelle variante de tournesols et prouvons un analogue du lemme de tournesol qui peut être d'intérêt indépendant.

[1] Complexité de la fonction booléenne, avancées et frontières

[2] La complexité monotone de k-Clique sur des graphes aléatoires (2009) Rossman

[3] Complexité moyenne de détection des cliques par Rossman

[4] Commentaire sur la percée de Williams sur le produit matriciel borne inférieure RJ Liptons Godels Lost Letter blog

[5] Matériaux détaillés sur les tournesols

— vzn
source