Temps de frappe quantique à un coup

Dans le journal Quantum Random Walks Hit Exponially Faster ( arXiv: quant-ph / 0205083 ) Kempe donne une notion de temps de frappe pour les marches quantiques (dans l'hypercube) qui n'est pas très populaire dans la littérature sur la marche quantique. Il est défini comme suit:

One-Shot Quantum Frapper Temps: Une promenade quantique à temps discret a un one-shot ( | Ψ 0 ⟩ , | Ψ f ⟩ ) temps -hitting si | ⟨ Ψ f | U T | Ψ 0 ⟩ | 2 ≥ p où | Ψ 0 ⟩ est l'état initial, | Ψ f ⟩ est l'état cible, et p > $(T,p)$$(|\Psi_0\rangle,|\Psi^f\rangle)$$|\langle\Psi^f|U^T|\Psi_0\rangle|^2 \geq p$$|\Psi_0\rangle$$|\Psi^f\rangle$$p>0$ est la probabilité de frappe.

Normalement, vous souhaitez connaître le minimum tel que p > 0 . Il n'est pas possible (corrigez-moi si je me trompe) de définir une notion de temps de frappe moyen car vous aurez besoin de faire des mesures pendant la marche, et cela reviendrait à une marche classique. C'est pourquoi nous avons la notion unique. Dans le même travail, il y a une application au routage quantique (cf. section 5 ).$T$$p>0$

Pour savoir que la marche est arrivée au sommet cible, vous devez effectuer une mesure uniquement à ce nœud. Par exemple, dans l' hypercube à dimensions avec 2 n nœuds si vous commencez au nœud | Ψ 0 ⟩ = | 00 ... 00 ⟩ et ont comme noeud cible | Ψ f ⟩ = | 11 ... 11 ⟩ , les émissions de papier que T = O ( n ) avec une probabilité d'erreur bornée, ie p → 1 comme $n$$2^n$$|\Psi_0\rangle=|00\dots00\rangle$$|\Psi^f\rangle=|11\dots11\rangle$$T=O(n)$$p\to 1$$n$devient très grand. Donc, pour détecter que la marche est arrivée vous faire une mesure après Ω $|11\dots11\rangle$ étapes. Il s'agit d'une accélération exponentielle.$\Omega(n)$

Des questions:

1. Pour utiliser cette notion de temps de frappe pour la recherche, vous devez connaître au moins la distance du sommet cible par rapport à l'origine, car c'est ainsi que vous savez quand appliquer votre mesure. Disons que vous avez un graphe , défini comme sommet initial v 0 et que vous voulez atteindre v f . On suppose également que T = O ( d i s t ( v 0 , v f ) ) et p ≥ 1 /$G$$v_0$$v^f$$T=O(dist(v_0,v^f))$$p\geq 1/2$ . Eh bien, $T$est évident car vous avez besoin d'au moins autant d'étapes pour y parvenir. Est-il logique d'utiliser ce temps de frappe pour la recherche? Si vous savez où se trouve le nœud, la recherche n'a aucun sens, mais avoir une information comme "la distance du sommet de départ" mais ne pas savoir exactement où se trouve la cible, cette notion de temps de frappe donne-t-elle un intérêt (mérite d'être étudiée) ) algorithme de recherche?

2. L'application au routage quantique a-t-elle un sens? Dans le document, il est indiqué qu'il peut être utilisé pour le routage de paquets, mais il me semble que vous ne pouvez envoyer que 1 bit, par exemple, est-il arrivé à destination ou non? Pouvez-vous réellement envoyer un état quantique dans ce cadre? Dans le document, cette question n'est pas abordée.

3. C'est peut-être une question stupide à poser, mais ça y est. Pouvez-vous utiliser cette notion de temps de frappe pour construire un "interféromètre de Mach-Zender généralisé"?

Je connais les autres notions de temps de frappe pour les promenades quantiques (comme Szegedy ou Ambainis ). Je suis particulièrement intéressé par ce temps de frappe spécifique.

Mise à jour (9/24/2010): Merci à Joe Fitzsimons les questions 2 et 3 ont été complètement répondues. Bien que la question numéro 1 demeure. Tout d'abord, je reformulerai la question 2 en termes plus spécifiques maintenant que j'ai fini de lire le document que Joe m'a recommandé et quelques autres (par exemple, voir arXiv: 0802.1224 ), puis je donnerai un exemple concret de ce que j'ai en tête pour la question 1.

2 '. Si vous envoyez un message concret (comme une séquence de bits classiques), vous pouvez utiliser un unitaire plus compliqué qui copiera ces informations pendant les étapes de la marche. Pour envoyer des états quantiques, vous avez besoin de quelque chose de plus. Le canal des chaînes de spin utilise un réseau linéaire de qubits avec un couplage fixe. Vous pouvez mettre l'état (état pur, je ne sais pas si cela fonctionne pour les états mixtes) que vous souhaitez transmettre à une extrémité et il va à l'autre extrémité avec une haute fidélité selon les résultats numériques. Je dois encore y réfléchir mais j'ai deux idées: i) mettre une chaîne sur chaque maillon du graphique, ou ii) faire la marche, trouver l'état cible, puis faire le canal entre l'état initial et la cible puis envoyer l'état. Certaines de ces approches sont-elles plausibles? Fonctionne-t-il avec des États mixtes?

1'. Considérons une marche sur une grille bidimensionnelle centrée à l'origine avec nœuds de chaque côté de longueur $n$ . Définissez l'état initial àv0=(0,0)et l'état cible àvf=($\sqrt{n}$$v_0=(0,0)$oùa=0,…,$v^f=(\sqrt{n}-1,a)$. Parce que la marche est symétrique, nous avons le même temps de frappe et les mêmes probabilités de frappe pour n'importe quelle cible quelque part sur la bordure de la grille, comme indiqué ci-dessous.$a=0,\dots,\sqrt{n}-1$

Par conséquent, les informations dont nous disposons sont que . Nous pouvons l'utiliser pour savoir quand effectuer la mesure. Le temps de frappe unique peut-il être utilisé pour rechercher dans cette grille? Ici, vous avez besoin de ces informations. Un problème ouvert dans la recherche d'une grille est que nous savons queΩ($dist(v_0,v^f)=\Omega(\sqrt{n})$est une borne inférieure pour la recherche, et pour les grilles, la meilleure borne supérieure estO($\Omega(\sqrt{n})$. Soit nous ne sommes pas en mesure de trouver un meilleur algorithme, soit les techniques pour prouver les bornes inférieures lorsque vous les utilisez sur des grilles donnent une borne inférieure faible. Pouvez-vous montrer que la seule façon d'aller en dessous$O(\sqrt{n\log n})$ "une information" comme celle de la question? Cela impliquerait un moyen de prouver une limite inférieure pour les grilles. Celà a-t-il un sens?$\sqrt{n\log n}$

Je ne connais pas très bien cet article, mais je vais essayer de donner une réponse approximative à chacune de vos questions après un survol rapide.

1. $O(\mbox{dist}(v_0, v^f))$$O(\sqrt{n})$, donc votre supposition que $T=O(\mbox{dist}(v_0, v^f))$ n'est pas valable ici.
2. Je suppose que l'auteur prend un paquet entier pour faire la marche aléatoire. Évidemment, cela nécessite un unitaire un peu plus compliqué, mais je ne vois pas vraiment de problème. Alternativement, Burgarth et Bose ont un très bon schéma pour coder les informations sur des graphiques identiques qui fonctionneraient aussi si vous remplaciez simplement leurs chaînes 1d par le réseau de choix ( quant-ph / 0406112 ).
3. Eh bien, vous n'avez pas vraiment besoin de cette notion de temps de frappe. Les hypercubes ont un transfert d'état parfait (voir par exemple quant-ph / 0309131 et quant-ph / 0411020 ), vous pouvez donc visualiser le transport sur un hypercube comme un interféromètre avec l'interféromètre Mach-Zender correspondant au cas 2d.

MISE À JOUR: (Pour répondre à la question mise à jour concernant les promenades aléatoires sur une grille ou un autre treillis)

Une approche du problème de mesure que vous mettez en évidence avec le problème de recherche spatiale consiste à simplement effectuer une mesure à chaque pas de temps de sorte qu'elle renvoie 1 si le sommet du marcheur est actuellement (disons $v_t$) est égal à $v^f$et le pas de temps actuel t est le temps de frappe pour ce sommet. Cela devrait éviter le problème d'effondrement de la fonction d'onde, car la mesure n'est effectuée pour chaque sommet qu'une fois le temps de frappe atteint, et elle enregistre les effondrements sur un emplacement uniquement si cet emplacement est le résultat correct.

En ce qui concerne la question 1, connaître la distance entre le sommet cible inconnu et un sommet d'origine connu sur l'hypercube peut aider le processus de recherche. Cependant, la valeur de la distance elle-même détermine à quel point ces informations sont utiles.

Les algorithmes de marche quantique typiques sont généralement des variations / approximations de la recherche de Grover: ils impliquent une rotation approximative du vecteur d'état dans un sous-espace 2D de l'espace total de Hilbert.

Vous pouvez utiliser ces algorithmes pour préparer efficacement une superposition approximativement uniforme de tous les sommets à une distance donnée de l'origine. Ensuite, vous pouvez rechercher votre sommet cible à l'intérieur de cette superposition en utilisant la recherche quantique ou classique (Monte Carlo): Pour la recherche classique, préparez simplement la superposition et mesurez-la sur la base du sommet et répétez jusqu'à ce que vous trouviez la cible. Pour la recherche quantique, la procédure de préparation de superposition (et son inverse) devient un sous-programme qui remplace la transformée de Hadamard dans l'itération de Grover.

L'utilité de cela dépend de la valeur de la distance: dans le $n$-hypercube dimensionnel le nombre de sommets à distance $d$ d'une origine donnée est le coefficient binomial $\binom{n}{d}$. D'où la majorité des sommets ($\approx \frac{2^n}{\sqrt{\frac{\pi}{2}n}}$) sont à $\approx n/2$ distance: while you can efficiently prepare the superposition of these vertices, searching the target inside it still takes exponential time.