Ordre topologique positif, prendre 2

Ceci fait suite à la récente question de David Eppstein et est motivé par les mêmes problèmes.

Supposons que j'ai un point avec des poids réels sur ses sommets. Initialement, tous les sommets ne sont pas marqués. Je peux changer l'ensemble des sommets marqués soit (1) en marquant un sommet sans prédécesseurs non marqués, soit (2) en démarquant un sommet sans successeurs marqués. (Ainsi, l'ensemble des sommets marqués est toujours un préfixe de l'ordre partiel.) Je veux trouver une séquence d'opérations de marquage / démarcation qui se termine par tous les sommets marqués, de sorte que le poids total des sommets marqués soit toujours non négatif .

• Est-il difficile de trouver une telle séquence d'opérations? Contrairement au problème de David , il n'est même pas clair que ce problème soit dans NP; en principe (bien que je n'ai pas d'exemples) chaque séquence de mouvement légale pourrait avoir une longueur exponentielle. Le mieux que je puisse prouver, c'est que le problème est dans PSPACE.

• L'opération de démarquage est-elle réellement inutile? S'il existe une séquence de déplacement valide, doit-il y avoir une séquence de déplacement valide qui ne marque jamais un sommet? Une réponse affirmative rendrait ce problème identique à celui de David . D'un autre côté, si la suppression du marquage est parfois nécessaire, il devrait y avoir un petit exemple (taille constante) qui le prouve.

Lors de notre séminaire de recherche régulier 666, nous avons fourni la preuve suivante.

Nous commençons avec quelques définitions. Soit P notre poset. Par souci de simplicité, supposons qu'aucun des poids ne soit égal à zéro. Notons le poids d'un sommet par w (x) et la somme des poids d'un ensemble par w (X). Nous disons qu'un ensemble X est Y-up (fermé) s'il est contenu dans Y et que chaque élément de Y qui est plus grand qu'un élément de X est également dans X. De même, disons qu'un ensemble X est Y-down s'il est contenu dans Y et chaque élément de Y qui est plus petit qu'un élément de X est également dans X. Dans ce langage, l'ensemble des éléments marqués doit toujours être P-down.

Nous prouvons par contradiction. Prenez la séquence de marquage / retrait la plus courte qui marque chaque élément. Nous appelons ces séquences complètes. À un moment donné, considérez l'ensemble des éléments qui ont été marqués auparavant mais qui ne le sont plus. Notons cet ensemble par U.

Revendication: w (U)> 0.

Preuve: Nous prouvons que le poids de tout ensemble U-up, X, est positif. La preuve est par induction sur la taille de X. S'il y a un ensemble X-down, Y, tel que w (Y)> 0, alors que par induction on sait que w (X \ Y)> 0 (puisqu'il est X-up), nous avons également w (X)> 0. Si pour chaque ensemble X-down, Y, nous avons w (Y) <0, alors en supprimant jusqu'à ce point tous les marquages ​​et annotations des éléments de X de notre séquence, nous obtenons une séquence complète plus courte. Nous avons terminé avec la preuve de la réclamation.

Supposons maintenant que nous ayons une séquence complète où w (U)> 0 à tout moment pour l'ensemble U d'éléments actuellement non marqués. Prenez la séquence que nous obtenons à partir de cela en prenant le premier marquage de chaque élément et en ne démarquant jamais rien. Il est clair que ce sera également une séquence complète satisfaisant que l'ensemble des éléments marqués est toujours P-down. De plus, la somme des poids sera toujours au moins autant que dans la séquence d'origine car à tout moment la différence est w (U). Nous avons fini.

Avec cette méthode, on peut même prouver que si au lieu de marquer l'ensemble de P, nous voulons seulement marquer un sous-ensemble de P, alors cela peut être fait avec une séquence de marquages ​​suivie d'une séquence de non marquages. La preuve est la même sauf qu'à la fin certains éléments, U, restent non marqués mais ceux-ci peuvent être déplacés à la fin de la séquence car le poids de tout ensemble U-up est positif.