Largeur de clique de presque Cographs

(J'ai posté cette question sur MathOverflow il y a deux semaines, mais jusqu'à présent sans réponse rigoureuse)

J'ai une question sur les mesures de largeur de graphique des graphiques simples non dirigés. Il est bien connu que les cographes (graphes qui peuvent être construits par les opérations d'union et de complémentation disjointes, à partir de sommets isolés) ont une largeur de clique au plus de 2. (Courcelle et al, limites supérieures à la largeur de clique des graphiques). Considérons maintenant un entier k non négatif fixe, et considérons la classe de graphes de graphes telle que pour chaque G = ( V , E ) ∈ G k il y a un ensemble S d'au plus k sommets tels que G [ V - S ] est une cographie. Depuis la classe de graphe $\mathcal{G} _k$$G = (V,E) \in \mathcal{G} _k$$S$$G[V - S]$ peut également être considéré comme la classe de graphes qui peut être construite à partir de cographes en ajoutant au plus k sommets, cette classe a également été appelée cographs + k v .$\mathcal{G} _k$$k$$kv$

Ma question est la suivante: quelle est la limite étroite de la largeur de clique des graphes dans , c'est-à-dire les graphes qui peuvent être transformés en cographie en supprimant k sommets?$\mathcal{G}_k$

On sait que si un graphe est obtenu à partir de H en supprimant k sommets alors c w ( H ) ≤ 2 k ( c w ( G ) + 1 ) . Cela montre que si un cogramme G peut être obtenu à partir d'un graphe H en supprimant k sommets, alors c w ( H ) ≤ 2 k ( 3 + 1 ) , et donc la largeur de clique d'un graphe en G$G$$H$$k$$cw(H) \leq 2^k (cw(G) + 1)$$G$$H$$k$$cw(H) \leq 2^k (3 + 1)$$\mathcal{G}_k$est au plus . Je ne sais pas si cette dépendance exponentielle de k est nécessaire. Dans ce contexte, je serais également intéressé par la diminution maximale de la largeur de clique en supprimant un sommet; c'est-à-dire si nous supprimons un seul sommet d'un graphe, combien la largeur de clique peut-elle diminuer?$4*2^k$$k$

Je vais essayer de répondre à votre vieille question, bien que je ne sois pas sûr que ma réponse soit concluante, mais elle devrait vous orienter dans la bonne direction.

$k$$1$

Gurski et Wanke ont montré dans "Sur la relation entre la largeur du NLC et la largeur du NLC linéaire" que les cographies ont une largeur de clique linéaire illimitée.

Étant donné que les cographies ont une largeur de clique linéaire illimitée mais une largeur de clique limitée, toute bonne décomposition de clique doit avoir une structure arborescente. Nous devons montrer que nous pouvons forcer arbitrairement de nombreuses branches profondes. Maintenant, nous faisons comme pour les arbres, construisons un arbre avec à 2 ^ k feuilles ajouter k sommets et chaque feuille est connectée à un sous-ensemble unique de nouveaux sommets.