BQP est-il égal à BPP avec accès à un oracle de sous-groupe caché abélien?

complexity-classes quantum-computing

— Jason
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En fait, il y a beaucoup de travail sur les problèmes de sous-groupes cachés non abéliens dans la recherche sur les algorithmes quantiques, donc j'espère certainement que ce n'est pas le cas!

— Joe Fitzsimons

@Joe: Je pensais que la plupart des travaux sur les FSS non abéliens étaient destinés à des groupes qui sont en quelque sorte "proches d'Abelian" - mais veuillez me corriger si je me trompe, car je ne suis pas un expert dans le domaine. Mais si tel est effectivement le cas, une réponse positive à la question pourrait ne pas contredire les travaux auxquels vous faites référence.

— Joshua Grochow

Réponses:

Comme de nombreuses séparations de classes de complexité, notre meilleure supposition est que la réponse est que BPP ^ {HSP}! = BQP, mais nous ne pouvons le prouver rigoureusement que par rapport aux oracles. Cette séparation a été observée par Scott Aaronson dans ce billet de blog où il a observé que l' accélération d'arbre soudé de Childs, Cleve, Deotto, Farhi, Gutmann et Spielman n'était pas contenue dans SZK.

En revanche, BPP ^ {HSP} est contenu dans SZK, au moins si le but est de déterminer la taille du sous-groupe caché. Cela inclut même le HSP abélien, même si je ne sais pas exactement comment trouver les générateurs d'un sous-groupe caché arbitraire dans SZK. La raison pour laquelle nous pouvons décider de la taille du sous-groupe caché est que si f: G-> S a le sous-groupe caché H, et que nous choisissons g uniformément au hasard parmi G, alors f (g) est uniformément aléatoire sur un ensemble de taille | G | / | H |. En particulier, f (g) a un log d'entropie | G | - log | H |. Et l'estimation de l'entropie est en SZK.

— Aram Harrow
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Je savais que j'avais vu un article de blog à ce sujet quelque part!

— Joe Fitzsimons

Je ne sais pas comment on pourrait réfuter une telle affirmation, mais je doute que ce soit vrai. Nous avons d'autres accélérations exponentielles par des algorithmes quantiques qui ne dépendent pas du HSP abélien. De plus, Abelian HSP n'est pas connu pour être BQP-complet.

D'un autre côté, les problèmes connus pour être BQP-complets sont des problèmes comme le calcul des invariants Knot, d'autres invariants multiples, les fonctions de partition et la simulation hamiltonienne. Avec un oracle pour l'un de ces problèmes, BPP serait aussi puissant que BQP.

Enfin, je suis sûr que l'on peut construire une séparation oracle entre les deux classes que vous mentionnez, mais ce ne serait pas un moyen équitable de les comparer car une classe peut faire des requêtes quantiques et l'autre pas, donc la séparation ne ferait que refléter ce fait .

— Robin Kothari
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quelles sont les références sur les problèmes d'accélération superpolynomiale qui ne dépendent pas du HSP abélien?

— Marcos Villagra

une question plus précise est "quelles sont les références sur les problèmes avec les accélérations superpolynomiales qui ne dépendent pas du tout du HSP?"

— Marcos Villagra

Le zoo des algorithmes quantiques ( its.caltech.edu/~sjordan/zoo.html ) possède une grande liste d'algorithmes et de références pour chacun.

— Robin Kothari

@Joshua: Ces séparations d'oracle sont très bien, car elles essaient de montrer la puissance des requêtes quantiques. Permettez-moi de donner un exemple de ce que je veux dire. S'il y avait un algorithme de polytime pour 3SAT, et que cet algorithme soit appelé X. Clairement, P ^ X contient NP. Pourtant, nous pouvons construire une séparation oracle entre P ^ X et NP, car dans le premier cas, seule la machine P peut accéder à l'oracle, et la séparation reflète simplement le fait que les requêtes non déterministes sont meilleures que les requêtes déterministes. De même, même si BPP ^ AHSP contenait du BQP, nous pourrions les séparer assez facilement avec un oracle.

— Robin Kothari

Merci pour toutes les réponses. En particulier, merci de me rappeler les polynômes de Jones et HOMFLY, qui n'ont rien à voir avec les HSP. Évaluer le polynôme de Jones exactement à la cinquième racine de l'unité est # P-difficile, mais leur approximation jusqu'à une fraction epsilon avec une certaine précision probabiliste est en BQP.

— Jason

Je dois convenir avec Robin que ce n'est pas nécessairement une affirmation facile à réfuter, bien qu'elle soit presque certainement fausse. Une raison immédiate qui me fait douter est que le calcul quantique post-sélectionné est égal à PP, et cela semblerait suggérer que les statistiques seraient difficiles à recréer. Scott Aaronson a un article au STOC montrant qu'il y a un problème de relation avec l'oracle qui peut être résolu dans BQP mais pas dans PH.

$BPP^{NP} = P^{\#P}$

— Joe Fitzsimons
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P ^ {# P} = P ^ {PP}, vous pouvez donc l'utiliser à la place.

— Robin Kothari

Oui, cela aurait été la chose intelligente à faire!

— Joe Fitzsimons